ผอ.สพป.ชย.1

เจ้าของเว็บไซต์แนะนำตัว

การศึกษาปฐมวัย

สมุดเยี่ยม

จำนวนผู้เข้าชม

เวบไซด์ที่น่าสนใจ

Social

ความสามารถด้านตัวเลข

โพสต์12 มี.ค. 2556 20:58โดยPramern Boonsena   [ อัปเดต 2 ส.ค. 2556 01:26 ]
ความสามารถด้านตัวเลข

ก. ภาคความรู้ความสามารถทั่วไป  :  ความสามารถด้านตัวเลข
            ตัวเลขแบบอนุกรม                

เป็นลักษณะการวางเรียงตัวเลขอย่างเป็นระบบ  มีกฎเกณฑ์อย่างใดอย่างหนึ่งเป็นชุด ๆ แล้วตัดตัวเลขตัวใดตัวหนึ่งในระบบออกหรือตัดตัวถัดไปแล้วให้ดูว่าน่าจะเป็นตัวเลขใดมีหลายแบบเช่น

1.1    ตัวเลขอนุกรมธรรมดา  เป็นอนุกรมแนวเดียว 

             . ระบบเดียว  ตัวอย่าง     2       3       5      8       ….?  
             แนวคิด : ตัวระบบคือ  +1   +2      +3     ต่อไปต้องเป็น 8 + 4  =  12   

2  + 1

=

3

3   + 2

=

5

5   + 3

=

8

8   +  4

=

12

12 +  ……(5)

=

17

 

. ระบบซ้อน  เป็นระบบที่เขียนให้ซ้อนกันอย่างน้อย  2 ระบบขึ้นไป เช่น +1 +2 +1 

+3  +1  +4    หรือ  +3  -1  +4  -2  +5  -3  ระบบซ้อนนี้  อาจจะเป็น  กับ  -   หรือสลับเครื่องหมายทางคณิตศาสตร์แบบต่าง ๆ  แม้กระทั่งการยกกำลัง  หรือใส่  log  ก็สามารถมาสร้างเป็นอนุกรมได้   ตัวอย่าง              5     4     6     4     8     5     11     7      …….?

                     แนวคิด.  เป็นดังนี้     -1    +2    -2    +4    -3    +6    -4     +8  
                                  คำตอบที่ได้คือ   8 + 11 แบบนี้เป็น 2 ระบบเท่านั้น 

5  -   1

=

4

4   +  2

=

6

6   -   2

=

4

4   +  4

=

8

8   -   3

=

5

5   +  6

=

11

11  -  4

=

7

7   +  8

=

15

. แบบเติมหลัง  หลักการเหมือนข้อ  เพียงแต่สร้างอนุกรมให้สมบูรณ์แล้วหาตัวต่อไปสุดท้ายเท่านั้นเอง   ตัวอย่าง

 

1.    5     7     4     7      5      9     ……..?       มีค่าเท่าไร

ก.  4    .  6          .  7         .  8        .  10

แนวคิด.  ระบบจะเป็น   ระบบ   คือ  +2  -3  +3  -2    +4  
               ต่อไปจาก   -3   -2  เป็น   -1   ดังนั้น   9-1   =   8   คำตอบถูก  คือ  ง.  8

5  +   2

=

7

7   -    3

=

4

4   +   3

=

7

7   -   2

=

5

5   +   4

=

9

9   -    1

=

8

 

                1.      3     5    7    9   …….? 

                          .  10           .   11      ค.  13       .  14      .  16

                       เพิ่มขึ้นทีละ  2   คือ  +2  +2  +2  ไปเรื่อย ๆ  ดังนั้นถัดจาก  9+2  จึงเป็น  11 
                       คำตอบถูก
  .

                2.      3     4    6    9      ……..?    

                         . 12              . 13         . 15       . 16       จ. 17

                          เพิ่มขึ้นไม่เท่ากัน   คือ  +1  +2  +3……เป็น  +4  ดังนั้น  9 + 4   =  13  
                          คำตอบถูก   .

                3.      7    8    10    11    14    15  …..?                      

                          ก. 16              . 17         . 18        . 19      . 21

                         ระบบบวกแบบนี้คือ  +1  +2   +1  +3  +1  +4  ….. เรียกว่าระบบบวกซ้อน
                       ตัวเลขถัดไป เป็น   15 + 1  =  16   คำตอบถูก  ก.

                . วิธีลบ  ใช้วิธีคล้ายกับวิธีบวก  เพียงแต่ระบบเกิดจากการลบเป็นหลัก    ดังตัวอย่าง

                     1.   25      22     19      16     ……? 

                . 9           .  12       .  13       .  14      .  15

                ระบบนี้ค่าลบเท่ากันตลอด  คือ  -3   -3   -3   ไปเป็น   -3
                            เลขถัดไปจึงเกิดจาก  16-3  =  13  คำตอบถูก   .

                     

 

 

                2.   25    24    21    19    16      13    ……?

                . 7           .  9         .  10       .  11      .  12

            เป็น  -1   -3   -2  -3   -3  -3    เป็นลักษณะระบบซ้อน
                            ระบบต่อไปเกิดจาก   13 – 3 = 10   คำตอบถูก   .

 

. วิธีคูณ  ระบบเป็นผลของการคูณ  นั่นคือตัวเลขเกิดจากการคูณ     ตัวอย่าง

                     1.   3       6        12      24     …… ?

                . 26     .  32     .  40            .  48      .  58

                             ระบบนี้ใช้ระบบคูณคงที่  คือ  2 คูณกันต่อไปเรื่อย ๆ
                              ตัวสุดท้ายเกิดจาก 24 x 2  = 48   คำตอบถูก  .

                     2.   3       3        6      6      18   ……  ?

                . 18     .  24     .  32            .  54      .  72

                ระบบนี้ซับซ้อนมากขึ้น  เกิดจาก   x1   x2   x1  x3   เป็นระบบ   x1  x1 
          กับระบบ      x2   x3   x4   ไปเรื่อย ๆ ดังนั้น  18  x  1  =  18   คำตอบถูก    .

   

วิธีหาร  เป็นแบบเดียวกับวิธีคูณ  วิธีคิดคือคิดกลับข้างกับวิธีคูณ  นั่นคือทำวิธีคูณก่อน

                1.   100              50    10   5   ……?

      . 1     .  2     .  3             .  4        .  5

      เกิดจากเอา  หาร  แล้วเอา   หารสลับกันไป  คือ  
             หาร  หาร  หาร     หาร  5    ดังนั้น  หาร  5  =  1  คำตอบถูก   .

            2.   120     40    20   5   5    ……?

      . 0     .  1     .  2             . 3         .  4

      เป็นการหาร  ระบบ  สังเกตดูจะเห็นว่า  หาร  หาร  หาร  หาร  1 หาร 
      นั่นคือ  ระบบหารด้วย  3    4    5    และ  2   1    0   คำตอบถูก   .
      ได้จาก  หาร  5  =  1

 

วิธีผสม   เป็นวิธีการสร้างระบบโดยอาศัยวิธีการทางคณิตศาสตร์  แตกต่างกันออกไป  เช่น  บวกกับลบ  บวกกับหาร  บวกกับยกกำลัง  ลบกับคูณ  สามารถนำมาเกี่ยวข้องกันอย่างน้อย  2 ระบบขึ้นไป ตัวอย่าง

            1.    2        5     4   8    7   ……?

       . 10     .  12     .  13 . 14          .  16

       ข้อนี้  มี  ระบบคือ  บวกกับลบ +3 –1 +4 –1  ต่อไป  +5   
              เลขถัดไปจะเป็น  7 + 5 =  12    คำตอบถูก   .

            2.    5        5     2      4     1       1    ……?

       .  0        .  1         .  -2              . -3           .  -5

       ข้อนี้ มี  ระบบแบบผสมคือ  ยกกำลังกับการลบ  นั่นคือยกกำลัง  1 –3  
                     ยกกำลัง  2  - 3  ยกกำลัง  3  -3  อย่างนี้ไปเรื่อย ๆ    คำตอบของเลขถัดไป
                     จึงเป็น   1  - 3   =  -2    คำตอบถูก   .

 

 

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

 

 

ภาคความรู้ความสามารถทั่วไป 
            อนุกรมแบบเรียงลำดับตัวเลข    

 

ผลต่างระหว่างเทอมคงที่  เช่น

1.      1,     2,     3,     4,      5     ..........   (ผลต่างระหว่างเทอมคงที่เป็น 1)
2.
      1,     3,     5,     7,      9     ..........   (ผลต่างระหว่างเทอมคงที่เป็น 2)
3.
      2,     5,     8,    11,   14     ..........   (ผลต่างระหว่างเทอมคงที่เป็น 3
4.
     40,   35,   30,   25,   20      ..........   (ผลต่างระหว่างเทอมคงที่เป็น 5 แต่ค่าลดลง)
5.
     15,   11,     7,     3,    -1     ..........   (ผลต่างระหว่างเทอมคงที่เป็น 4 แต่ค่าลดลง)

 

ผลต่างระหว่างเทอมเพิ่มขึ้นหรือลงอย่างเสมอ  เช่น

6.     1,   2,    4,     7,    11         ..........   (ผลต่างระหว่างเทอมเพิ่มขึ้นคราวละ 1)

7.     5,   7,   11,   17,   25         ..........   (ผลต่างระหว่างเทอมเพิ่มขึ้นคราวละ 2)

8.    51, 44,  38,   33,   29         ..........   (ผลต่างระหว่างเทอมลดลงคราวละ 1)

9.      1,   2,    6,   15,   34         ..........   (ผลต่างระหว่างเทอมเป็นเลขยกกำลังสอง)

10.    1,   3,    8,   18,   35         ..........   (ผลต่างระหว่างเทอมเป็นเลขยกกำลังสองบวก 1)

 

 

 

เรียงตามกฎเกณฑ์เฉพาะ  
           นับเป็นการลำดับเรียงตัวเลขที่ยากที่สุด   เพราะกฎเกณฑ์นั้นมีอยู่มากมายไม่รู้จบ   ผู้เข้าสอบต้องอาศัยการทดลองทำแนวของกฎเกณฑ์ให้มากที่สุดเท่าที่จะมากได้   จึงจะเกิดความชำนาญในการคิด  ฉะนั้นจึงได้พยายามยกตัวอย่างมาให้หลาย ๆ แบบ   ดังนี้

          1.     1,   3,     7,   15,   31          ……….    (เทอมหลัง  = เทอมหน้า x 2 แล้วบวกด้วย 1)

          2.     3,   6,   11,   18,   27          ……….    (เป็นเลขยกกำลัง  +  2)

          3.     1,   4,   10,   22,   46        ……….    (เทอมหลัง  = เทอมหน้า x  2  แล้วบวกด้วย  2)

         4.       ,      ,      ,      ,                    ……….    (เศษสองคูณตัวหน้า  ส่วนเพิ่มคราวละ  2)

         5.     2,   4,   16,  265, 65536      ……….    (เทอมหลัง  = เทอมหน้ายกกำลัง) 

         6.     2,   8,   18,   32,   50           ……….    (เลขยกกำลัง  x  2  ) 

         7.     1,   4,    9,    16,   25           ……….    (เลขยกกำลังสอง) 

         8.     1,   8,    27,    64,   125       ……….    (เลขยกกำลังสาม) 

         9.     0,   3,    8,    15,   24           ……….    (เลขยกกำลังสองลบด้วย  1) 

        10.   -1,   6,    25,    62,   173       ……….    (เลขยกกำลังสามลบด้วย  2) 

        11.  25     16      9       4     1         …….    (เลขยกกำลังสอง  คือ 5 ยกกำลังสอง 4 ยกกำลังสอง)

แบบเรียงชุดละ
  2  ตัว 

           คือการเรียงลำดับตัวเลขที่เรียงตามไปกฎเกณฑ์ใดกฎเกณฑ์หนึ่งชุดละ  2  ตัว  กฎของการเรียงในแต่ละตัวใน  2  ตัวนั้น  อาจจะเป็นกฎเดียวกับการเรียงชุดละ    ตัวก็ได้  เช่น
     1.     1,   1,   2,  4,   3,   9,  4         ….  (ตัวแรกของชุด 1,  2,  3, 4 ชุดหลัง  1, 4,  9, ต่อไปเป็น 16)

     2.     2,   1,   4,  3,   6,   5,  8         ….  (ตัวแรกของชุด 2,  4,  6, 8 ชุดหลัง    1, 3,  5, ต่อไปเป็น 7)

     3.     1,  14,   5,  12,   9,  10,  13    …. (ชุดแรก 1,  5,  9,  13 ชุดหลัง  14,  12, 10,  ต่อไปเป็น 8)

     4.     2,   3,   4,  9,   8,   27,  16      …. (ชุดแรก 2,  4, 8, 16  ชุดหลัง  3, 9, 27 ต่อไปเป็น 81)

     5.     10, 19, 13,  22, 16, 25,  19   …. (ชุดแรก 10,  13, 16, 19  ชุดหลัง  19, 22, 25 ต่อไปเป็น 28)

     6.      30,   1, 33,  4,   38,   9,  45  ….  (ชุดแรก 30,  33, 38, 45  ชุดหลัง  1, 4, 9 ต่อไปเป็น 16)

     7.      20, 10, 13,  4,   6,   -2 , 1     ….  (ชุดแรก 20, 13, 6, -1 ชุดหลัง 10, 4, -2 ต่อไปเป็น -8)

     8.      66,  -10, 77,  -3,  88,  5, 99  ….  (ชุดแรก 66,  77, 88, 99  ชุดหลัง  -10, -3, 5 ต่อไปเป็น 1)

     9.      19,  19,  21,  17, 24, 14, 28  …. (ชุดแรก 19, 21, 24, 28 ชุดหลัง 19, 17, 14 ต่อไปเป็น 10)

     10.    34,  31, 36,  29, 38, 27, 40   ….  (ชุดแรก 34, 36, 38, 40 ชุดหลัง 31, 29, 27 ต่อไปเป็น 25)

 

 

 

แบบเรียงชุดละ 3  ตัว 

            ก็เช่นเดียวกับการเรียงชุดละ  1  ตัว  หรือ  2  ตัว  แต่เป็นชุดละ  3  ตัว  เช่น

  1.     2,   1,   2,   2,   2,   4,  2,  3  ….

(ชุดแรก 2,  1,  2, ถัดไป  2,  2,  4 ถัดไป  2 3 ต่อไป 6)

  2.    2,   3,   5,   4,   5,   9,   6,  7  ….

(สองตัวแรกบวกกันเป็นตัวที่สาม ฉะนั้น  6+7 ได้ 13)

  3.    13,   11,   15,   14,   10,   16,  15,  9  ….

(ตัวแรกของชุด 13,  14,  15    ตัวที่สอง 11,  10,  9 ชุดที่สาม   15,  16, …..ต่อไปคือ   17)

  4.    5,   2,   10,   6,   4,   24,  7,  5   ….

(ชุดแรก 2,  5,  10 ตัวที่สอง 6,  4,  24  ชุดสาม  7, 5, …..ต่อไป  35)

  5.    1,   5,   8,   4,   6,  7,  9,  7, ….

(ชุดแรก 1,  4,  9  ตัวที่สอง 5,  6,  7  ชุดสาม   8,  7, ….. ต่อไป  6)

  6.    1,   4,   7,   2,   6,  9,  3,  8, ….

(ชุดแรก 1,  2,  3   ตัวที่สอง 4,  6,  8  ชุดสาม  7,  9, ….. ต่อไป  11)

 

 

อนุกรมธรรมดาชุดที่  1

คำชี้แจง  ให้ท่านพิจารณาจากตัวเลขที่กำหนดให้ว่าเปลี่ยนแปลงค่าแต่ละตัวโดยระบบใด  จากนั้นให้หาค่าของตัวเลขที่อยู่ตรง  …?...ว่าเป็นเท่าไร

 

1.             3              5              8              12           ....?....

                ก.  13                      ข.  15                      ค.  16                      ง.  17

2.             2              5              4              8              6              11           ....?....

                ก.  6                        ข.  8                        ค.  9                        ง.  12

3.             5              3              6              5              9              7              12           ....?....

                ก.  3                        ข.  5                        ค.  7                        ง.  11

4.             20           18           14           11           6              ....?....

                ก.  2                        ข.  3                        ค.  5                        ง.  7

5.             15           14           14           12           11           8              ....?....

                ก.  4                        ข.  5                        ค.  6                        ง.  10

6.             40           35           38           31           36           27           ....?....

                ก.  26                      ข.  29                      ค.  30                      ง.  34

7.             30           13           17           11           15           8              ....?....

                ก.  9                        ข.  11                      ค.  12                      ง.  14

8.             12           17           16           23           20           30           24           ....?....

                ก.  26                      ข.  29                      ค.  34                      ง.  38

9.             8              11           5              9              4              7              3              7              ....?....

                ก.  4                        ข.  6                        ค.  7                        ง.  9

10.          17           12           9              11           15           9              5              8              ....?....

                ก.  13                      ข.  14                      ค.  16                      ง.  17

11.          5              11           8              16           12           23           18           ....?....

                ก.  21                      ข.  24                      ค.  26                      ง.  33

12.          5              ....?....      3              3              6              36           40

                ก.  0                        ข.  1                        ค.  2                        ง. 3

13.          ....?....      3              11           9              3              10           7

                ก.  2                        ข.  4                        ค.  6                        ง.  7

14.          7              5              ....?....      18           15           3              20           4

                ก.  1                        ข.  3                        ค.  5                        ง.  7

15.          9              3              10           6              ....?....      8              6              6

                ก.  1                        ข.  2                        ค.  3                        ง.  4

16.          2              8              4              12           ....?....      18           16           16           15

                ก.  7                        ข.  9                        ค.  11                      ง.  13

17.          ....?....      4              12           15           5              20           24

                ก.  6                        ข.  8                        ค.  10                      ง.  12

18.          ....?....      8              3              9              27           23           28           56

                ก.  2                        ข.  3                        ค.  5                        ง.  6

19           ....?....      3              6              11           5              15           18           13

                ก.  5                        ข.  7                        ค.  9                        ง.  10

20.          ....?....      8              7              21           18           36           31

                ก.  1                        ข.  2                        ค.  3                        ง.  4

21.          ....?....      4              12           15           5              20           24           6

                ก.  2                        ข.  4                        ค.  6                        ง.  8

22.          8              1              5              5              ....?....      64           66          

                ก.  6                        ข.  7                        ค.  8                        ง.  9

23.          2              4              10           22           ....?....

                ก.  32                      ข.  35                      ค.  40                      ง.  42

24.          2              6              3              6              11           7              21           ....?....

                ก.  24                      ข.  27                      ค.  29                      ง.  31

 เฉลย

1.  (ง)              2.  (ข)                      3.  (ง)                      4.  (ก)                      5.  (ค)                6.  (ง)

7.  (ค)              8.  (ง)                      9.  (ก)                     10. (ก)                     11.  (ง)              12. (ข)

13.(ค)             14.  (ก)                   15. (ค)                     16.  (ข)                     17.  (ข)             18. (ก)

19.  (ง)            20.  (ข)                   21.  (ง)                    22.  (ค)                     23.  (ง)              24. (ข)

 

 

อนุกรมธรรมดาชุดที่  2

1.       2              5              10           17           .....

        ก.  20                      ข.  22                      ค.  24                      ง.  26     

2.       1              8              27           64           125         .....

        ก.  150                   ข.  210                   ค.  216                   ง.  250

3.       3              5              8              13           21           .....

        ก.  34                      ข.  42                      ค.  46                      ง.  84

4.       1              2              2              4              8              32           .....

        ก.  96                      ข.  128                   ค.  160                   ง.  256

5.       1              2              6              21           .....

        ก.  108                   ข.  88                      ค.  76                      ง.  63

6.       100         99           95           86           70           .....

        ก.  35                      ข.  42                      ค.  45                      ง.  46

7.       20           38           74           146         .....

        ก.  192                   ข.  290                   ค.  292                   ง.  298

8.       1              10           90           720         .....

        ก.  4230                 ข.  4320                 ค.  5020                 ง.  5040

9.       500         400         200         -100       .....

        ก.  0                        ข.  100                   ค.  -200                  ง.  -500

10.    1              -3            -7            -11          -15          .....

        ก.  -10                    ข.  -12                    ค.  -19                    ง.  -20

11.    .....

        ก.                    ข.                    ค.                     ง. 

12.    4              27           256         .....

        ก.  512                   ข.  768                   ค.  1024                 ง.  3125

13.    0              2              6              14           30           .....

        ก.  34                      ข.  45                      ค.  60                      ง.  62

14.    60           59           54           45           29           .....

        ก.  4                        ข.  5                        ค.  14                      ง.  24

 

15.    0.02        0.04        0.07        0.11        .....

        ก.  0.12                  ข.  0.13                  ค.  0.14                  ง.  0.16

16.    .....

        ก.                       ข.                       ค.                       ง. 

17.    1              2              3              6              12           24           .....

        ก.  30                      ข.  40                      ค.  42                      ง.  48

18.    2              8              20           44           92           .....

        ก.  170                   ข.  184                   ค.  188                   ง.  198

19.    4              11           30           67           .....

        ก.  124                   ข.  128                   ค.  134                   ง.  180

20.    3.1          5.3          7.5          .....

        ก.  6.5                     ข.  7.7                     ค.  8.8                     ง.  9.7

21.    2              4              3              9              4              .....

        ก.  10                      ข.  14                      ค.  16                      ง.  18

22.    100         303         506         .....

        ก.  607                   ข.  705                   ค.  706                   ง.  709

23.    1              3              10           41           .....

        ก.  82                      ข.  123                   ค.  145                   ง.  206

24.    0.01        0.003      0.0005   .....

        ก.  0.0006              ข.  0.0007              ค.  0.00006           ง.  0.00007

เฉลย

1.  (ง)              2.  (ค)                      3.  (ก)                      4.  (ง)                      5.  (ข)                 6.  (ค)

7.  (ข)              8.  (ง)                     9.  (ง)                      10. (ค)                     11.  (ข)               12. (ค)

13. (ง)             14.  (ง)                    15.(ก)                     16.  (ง)                     17.  (ก)              18.  (ง)

19.  (ค)            20.  (ข)                  21.  (ง)                     22.  (ค)                    23.  (ง)               24.  (ง)

25.  (ง)

 

 

1. ความสามารถด้านตัวเลข    

อนุกรมแบบผสม  ชุดที่  3

1.       0              3              3              5              6              7              9              .....

        ก.  6                        ข.  7                        ค.  8                        ง.  9

2.       37           4              30           10           23           16           .....

        ก.  14                      ข.  16                      ค.  18                      ง.  20

3.       9              18           6              24           3              .....

        ก.  9                        ข.  18                      ค.  24                      ง.  30

4.       1              0              -1            2              -3            4              .....

        ก.  -3                      ข.  -4                      ค.  -5                      ง.  -6

5.       2              1              0              3              2              1              4              .....

        ก.  0                        ข.  1                        ค.  2                        ง.  3

6.       88           80           85           77           82           74           .....

        ก.  80                      ข.  79                      ค.  78                      ง.  77

7.       144         1              72           2              36           6              18           24           .....

        ก.  5                        ข.  6                        ค.  9                        ง.  80

8.       1              1              4              2              9              3              .....

        ก.  10                      ข.  12                      ค.  14                      ง.  16

9.       13           9              26           5              52           1              104         .....

        ก.  -3                      ข.  1                        ค.  -2                      ง.  3

10.    1              2              5              4              5              8              .....

        ก.  5                        ข.  6                        ค.  7                        ง.  8

 

11.    24           36           12           18           6              9              .....

        ก.  25                      ข.  10                      ค.  5                        ง.  3

12.    12           10           15           13           18           16           .....

        ก.  5                        ข.  8                        ค.  11                      ง.  21

13.    3              9              6              18           12           36           .....

        ก.  24                      ข.  26                      ค.  28                      ง.  32

14.    3              1              9              4              81           9              .....

        ก.  162                   ข.  5651                 ค.  1651                 ง.  6561

15.    0              2              1              -1            4              3              -2            6              .....

        ก.  5                        ข.  6                        ค.  0                        ง.  -2

 

เฉลย

1.  (ง)              2.  (ข)                      3.  (ง)                      4.  (ค)                      5.   (ง)                 6.  (ข)

7.  (ค)              8.  (ง)                     9.  (ก)                      10. (ค)                     11.  (ง)                12. (ง)

13. (ก)             14.  (ง)                    15. (ก)

 

อนุกรมหลายชั้น    

ตัวเลขอนุกรมหลายชั้น  หมายถึง  อนุกรมธรรมดา อย่างน้อย 2 อนุกรมเกี่ยวข้องกัน ในอนุกรมธรรมดายังมีหลายระบบ ดังนั้นถ้ามี 2 อนุกรม ผู้ตอบอาจต้องคิดถึง 4 ระบบ จะทำให้ยากขึ้นกว่าอนุกรมธรรมดา อนุกรมแบบนี้มีอยู่ 3 ชนิด

                แบบที่  1  กำหนดอนุกรมให้  อนุกรม  แต่ละอนุกรมมี  ตัว อนุกรมหนึ่งจะถูกทุกตัว ส่วนอีกอนุกรมหนึ่งจะมีตัวเลขเรียงผิดอยู่ตัวหนึ่ง  และถ้าอนุกรมเรียงถูกทั้งสองอนุกรมแล้วจะมีผลรวมเท่ากับตัวเลขที่กำหนดให้   ดังนั้นอนุกรมแบบนี้ต้องการให้ผู้ตอบหาตัวผิดนั่นเอง  ดัง

 

ตัวอย่าง

 

 

 

อนุกรมหนึ่ง

อนุกรมสอง

1

1

2

3

3

6

4

7

5

9

 

                                                              ผลรวมเมื่ออนุกรมถูก

40

แนวคิด  : 
              1. อนุกรมหนึ่งถูก รวมกันได้ 15 
              2. อนุกรมสองจะต้องรวมกันได้  25 จึงจะถูก แต่อนุกรมสองที่กำหนดปรากฏว่ารวมกันได้ 26 เกินไป 1   ซึ่งมีที่ผิด 
              3.  พิจารณาดู  ถึง  แปลว่าเพิ่ม 2 ,     3 ถึง 6 เพิ่ม 3,        6 ถึง 7 เพิ่ม  1    และ 7  ถึง 9  เพิ่ม  2    แสดงว่าอนุกรมนี้ต้องเพิ่มทีละ 2 จึงจะถูก  ดังนั้นจุดที่ผิดคือ  ที่ถูกต้ององเป็น 

                    คำตอบถูกจึงเป็น  ค.    ผลรวมทั้งหมดเท่ากับ  40  พอดี

 

 

 

อนุกรมหนึ่ง

อนุกรมสอง

5

3

6

4

6

6

5

9

7

13

 

                                                         ผลรวมเมื่ออนุกรมถูก

62

แนวคิด  : 
               1. ข้อนี้ผลรวมที่ถูกคือ 62 แต่อนุกรมหนึ่งและสองรวมกันได้ 64 แสดงว่าตัวเลขที่ผิดนั้นเกิน 2  
               2.  พิจารณาอนุกรมที่ตัวเลขเรียงค่าตามลำดับดูก่อนว่าเพิ่มขึ้นเป็นระบบหรือไม่  ในที่นี้เพิ่มขึ้น +1,  +2,  +3, +4   อนุกรมสองถูก
                3. อนุกรมหนึ่งจะต้องรวมได้  27  จึงจะถูก  ขณะนี้รวมกันได้  29  ยังเกินไป  ให้ดูระบบความแตกต่างของแต่ละช่วง จะเป็น +1 , +0  , -1 ,+2 เอา  ระบบนี้มาพิจารณา +1 , +0  ก็ต้องเป็น –1, +1   คำตอบคือ  .

 

แบบทดสอบอนุกรมหลายชั้น

 

1.

                           

อนุกรมหนึ่ง

-1       0        2       5      8

75

กล่องข้อความ: 75

 อนุกรมสอง

 

16    14       12     10     8

                                           ผลรวมเมื่ออนุกรมถูก

 

2.

                           

อนุกรมหนึ่ง

9       5        2       0      -2

47

กล่องข้อความ: 47

 อนุกรมสอง

 

0      2        6       8      16

                                              ผลรวมเมื่ออนุกรมถูก

 

3.

                           

อนุกรมหนึ่ง

25     16      9       4       1

95

กล่องข้อความ: 95

 อนุกรมสอง

 

1         5      8     11       14

                                              ผลรวมเมื่ออนุกรมถูก

 

5.

                           

อนุกรมหนึ่ง

3       5        9       12     15

85

กล่องข้อความ: 85

 อนุกรมสอง

16    12       8        4       0

                                           ผลรวมเมื่ออนุกรมถูก

  

6.

                           

อนุกรมหนึ่ง

15     11      7       4      2

74

กล่องข้อความ: 74

 อนุกรมสอง

 1      1       2       6      24

                                                   ผลรวมเมื่ออนุกรมถูก

 

8.

                           

อนุกรมหนึ่ง

3       3         5      6       9

66

กล่องข้อความ: 66

 อนุกรมสอง

11     8         9      6       7

                                              ผลรวมเมื่ออนุกรมถูก

 

9.

                           

อนุกรมหนึ่ง

12     11       9      4      2

68

กล่องข้อความ: 68

 อนุกรมสอง
 

4        2      8       2      12

                                              ผลรวมเมื่ออนุกรมถูก

 

10.

                         

อนุกรมหนึ่ง

3      6        12     24    48

123

กล่องข้อความ: 123

 อนุกรมสอง

2      3          5       8    11

                                             ผลรวมเมื่ออนุกรมถูก

 

11.

                       

อนุกรมหนึ่ง

1      2        6     24   120

198

กล่องข้อความ: 198

 อนุกรมสอง

15    10     8       6       5

                                               ผลรวมเมื่ออนุกรมถูก

 

12.

                           

อนุกรมหนึ่ง

25     20      16    13    11  

149

กล่องข้อความ: 149

 อนุกรมสอง

11    13     12      14    13

                                           ผลรวมเมื่ออนุกรมถูก

 

14.

                           

อนุกรมหนึ่ง

1      3        5      16      6

70

กล่องข้อความ: 70

 อนุกรมสอง

1      9      25        4      2

                                       ผลรวมเมื่ออนุกรมถูก

 

15.

                           

อนุกรมหนึ่ง

-1      2        3      5       7

72

กล่องข้อความ: 72

 อนุกรมสอง

1       4       9       16    25

                                           ผลรวมเมื่ออนุกรมถูก

 

   1. ความสามารถด้านตัวเลข    

16.

อนุกรมหนึ่ง

อนุกรมสอง

3     27     9      20      10

30     6     18     12     16

 ก.   3,   6           . 9,  12  
 . 10,  12           . 16,  20            . 18,  27

 

 

17.

อนุกรมหนึ่ง

อนุกรมสอง

16    23    27      31    32

1       3       6       11   15

                                             . 23,   6                . 27,  11  
                                             . 31,  15               . 23,  11             .  32,  15

 

18.

อนุกรมหนึ่ง

อนุกรมสอง

0     2     1      3      4

 3   1     7     2       5

                                            ก. 0,   1                     . 1,  7  
                                            ค. 2,  3                      . 3,  1                .  4,  7

19.

อนุกรมหนึ่ง

อนุกรมสอง

-10     -6     2      8      14

10     20    40    60   160

                                            ก. -10,   10           . - 6,  60  
                                            ค. 2, 160               ง.    8,  20             . 14,  40

20.

อนุกรมหนึ่ง

อนุกรมสอง

25     16     8      4      1

3        6     18    70   360

                                           ก. 16,   6    . 8,  18   . 8,  70    . 4,  360   .  1,  360

21.

อนุกรมหนึ่ง

อนุกรมสอง

3     6     9     11      15

1     4     9     13      25

                                          . 3,   4                . 4,  11  
                                          . 6,  9                 . 11 , 13          .  13,  15

22.

อนุกรมหนึ่ง

อนุกรมสอง

5     2     0     -4      -7     -10

0     1     3       5      7        9

                                           ก.  0 , 0                  .  0 , 1  

                                           ค.  2 , 0                 .  –7 , 5                .  –10 , 0

 

23.

อนุกรมหนึ่ง

อนุกรมสอง

4     1     8      5      40

5     2     6      3      10

                                           ก. 1 , 2                . 1 , 6  

                                           ค. 8 , 3                . 5 , 6                      .  5 , 10

 

 

24.

อนุกรมหนึ่ง

อนุกรมสอง

18    17    15     12     7

  2     4       6       7    10

                                          ก. 18 , 4              . 7 , 12  

                                          ค. 15 , 10             ง. 7 , 15                .  7 , 7

25.

อนุกรมหนึ่ง

อนุกรมสอง

  1       3      6      27      81

162    54     18     6        4

                                          ก. 6 , 3            . 6 , 6  

                                          ค. 6 , 4            .  27 , 54                 . 3 , 18

26.

อนุกรมหนึ่ง

อนุกรมสอง

 2      5     10    18      26

10   12     14    22      30

                                          ก. 18 , 30            . 26 , 14  

                                          ค. 5 , 22              . 18 , 14             .  10 , 10

27.

อนุกรมหนึ่ง

อนุกรมสอง

3      5      2      6       1

1      2      5      8      16

                                           ก. 5,   2             . 6,  2  

                                           ค. 3,  6             . 6,  5                   .  6,  8

 

 

 

 

28.

อนุกรมหนึ่ง

อนุกรมสอง

-1     1     4     25      79

 1      1     2      5      15

                                           ก. 1,   1              . 4,  5  
                                           ค. -1,  1             . 4,  1                 .  79,  5

29.

อนุกรมหนึ่ง

อนุกรมสอง

1     4     10     16      25

32    28     26     21    18

                                           . 1,   21      . 10,  18  
                                           . 10, 26        . 16  18              .  25, 21

 

                แบบที่  2  เป็นแบบอนุกรมที่มาเข้าคู่กัน  อนุกรม  จะมีตัวเลข  ตัว  หรือมากกว่านั้นก็ได้  และให้มีผิดทั้งสองอนุกรม   คำตอบให้เอาตัวเลขที่ผิดในอนุกรมมาไว้เป็นคู่    ตัวอย่าง

 

อนุกรมหนึ่ง

2    3    4    5    7

อนุกรมสอง

1    3    5    6    9

                                               ก.  2 ,  3        . 3 ,   5    
                                               ค. 5 ,  7         . 7 ,  6        . 7 ,  9

แนวคิด  : 

              1.  อนุกรมหนึ่งเพิ่มขึ้นทีละ 1 ตัวเลขที่ผิดคือ 7 
              2.    อนุกรมสองเพิ่มขึ้นทีละ  ตัวเลขที่ผิดคือ 6 คำตอบถูกจึงเป็น 7, 6  

               

แบบที่  3 เป็นแบบกำหนดแนวโน้มของอนุกรมให้เป็นชุด ๆ แล้วหาระบบการเรียงที่เกี่ยวพันกัน เพราะทุกอนุกรมจะเชื่อมโยงแนวคิดให้ซึ่งกันและกัน การพิจารณาระบบการเรียงหรือแนวโน้มของตัวเลขเป็นสิ่งสำคัญมาก   วิธีนี้บางโครงสร้างเป็นลักษณะหลายมิติ คือสัมพันธ์หรือเกี่ยวพันกันทั้งแนวตั้งและแนวนอน ดังตัวอย่าง

(1)

8

 

 

4

 

 

20

 

4

2

 

2

1

 

10

?

                   . 2           . 4           . 5         . 6            . 7

 

6

กล่องข้อความ: 6

 

4

กล่องข้อความ: 4

 

3

กล่องข้อความ: 3

 

แนวคิด  : 
               1.  ชุดแรก  เกิดจาก  คูณ  จาก  เป็น  จาก  เป็น 
               2.  ชุดที่  2 เป็นลักษณะ 2 คูณ เช่นเดียวกัน เพียงแต่ตัวเลขเปลี่ยนไป 
               3.  ชุดที่  ต้อง  คูณเหมือนกัน  คำตอบถูกคือ 
                   วิธีคิดอาจจะเอา  หาร  จากเลขหลักบนมาก็ได้เช่นกัน

(2)        

 

2

5

 

กล่องข้อความ: 2 5  

10

วงรี: 10

5

9

 

กล่องข้อความ: 5 9  

?

วงรี: ?

3

9

 

กล่องข้อความ: 3 9  

2710

วงรี: 2710

 

 

 

 

 

. 18       . 20       . 36       . 45      . 65

  1. ความสามารถด้านตัวเลข                 

ให้พิจารณาอนุกรมแนวตั้งและแนวนอนจากตัวเลขที่เหลือไว้ให้แล้วพิจารณาว่า จุด  ? มีค่าเท่าไร

1       -        6       - 

6       8       -      15

-        5       -        -

4       -        9       ?

กล่องข้อความ: 1       -        6       -   6       8       -      15 -        5       -        - 4       -        9       ?

 

1.

 

 

 

 . 11   . 13   . 14   . 15   . 17

แนวคิด.  1. พิจารณาแถว  2 คือ 6   ถึง   8  คือ เพิ่ม 2
               2. พิจารณาแถว  1 คือ 1   เพิ่ม 2 เท่ากับ 3 จาก 3
                   ถึง  6   เพิ่ม  3
               3. พิจารณาแถว  2 คือ 8  +  3  คือ   11
               4.  พิจารณาแถว  2  จาก 11  ถึง 15  คือ เพิ่ม 4
               5.  พิจารณาแถว  4  จาก 9  เพิ่ม 4  คือ  13
         คำตอบ  คือ  13   ข้อ  ข.   ตอบถูก

-       5         -       4 

2      1         -         ?

-       8        -         -

-       0        2         -1

4       -        9       ?

กล่องข้อความ: -       5         -       4   2      1         -         ?  -       8        -         - -       0        2         -1 4       -        9       ?

 

2.

 

 

 

      . 0   . 1   . 3   . 4   . 6

แนวคิด.  ลักษณะอนุกรม คือ -1  +2  -3 
 1. พิจารณาแถว  2 จาก 2  ไป  1  คือ  ลด 1

 2. พิจารณาแถว  3  คือ 7   ลด  1 เท่ากับ 6 จาก 6+2  เป็น  8  
 3. พิจารณาแถว  4 คือ 2  -  3  คือ   -1
 4.  พิจารณาแถว  2  จาก 1 +2  เป็น 3  และ -3  เท่ากับ  0
     ข้อนี้  ตอบ  ก.  0 คำตอบ   

12      8        -        -    
 -       12      -      13 

18      -      17       -

19     15      -        ?

-       0       2       -1

4       -        9       ?

กล่องข้อความ: 12      8        -        -       -       12      -      13   18      -      17       -  19     15      -        ?  -       0       2       -1 4       -        9       ?

 

3.

 

 

 

 . 9   . 12   . 14   . 16   . 18

แนวคิด.  ลักษณะอนุกรม คือ -1  +2  -3 
              1. แถว  4 จาก 19  ไป 15  คือ  ลด 4
              2. แถว  2  คือ 18   ลด  4 เท่ากับ 14 ไป 17 คือ +3
              3. พิจารณาแถว  4 คือ 15  +3  เป็น  18 -2  เป็น 16 
              ข้อนี้  ตอบ  ง.  16 

-       3        7        - 

8      -      10      2 

-       1        -          -

10     -       12        ?       -1

4       -        9       ?

กล่องข้อความ: -       3        7        -   8      -      10      2    -       1        -          -  10     -       12        ?       -1 4       -        9       ?

 

4.

 

 

 

   . 4   . 5   . 7   . 9   . 13

แนวคิด.  ลักษณะอนุกรม คือ 10 -3  =  2
              1. แถว  2 จาก 10  ไป 2  คือ  ลด 8
              2. แถว  4   จาก 12   ลด  8 เท่ากับ 4

              ข้อนี้  ตอบ  ก.  4

 

4       -        -         2 

-       5       7          -

9      8         -          -

5      -          -         ?

4       -        9       ?

กล่องข้อความ: 4       -        -         2   -       5       7          -  9      8         -          - 5      -          -         ? 4       -        9       ?

 

5.

 

 

 

     . 1   . 3   . 4   . 6   . 7

แนวคิด.  ลักษณะอนุกรม คือ -1  +2  -3 
              1. แถว  1 จาก 4-1 = 3 +2 =5 -3 = 2
              2. แถว  2  จาก 6-1 = 5 +2 =7 -3 = 4

              3. แถว  3  จาก 9-1 = 8 +2 =10 -3 = 7

              4. แถว  4  จาก 5-1 = 4 +2 =6 -3 = 3

              ข้อนี้  ตอบ  ข.  3

-       2        -        7 

4       5        -         -

-       -        9       12 
?       -      12        -

 -

กล่องข้อความ: -       2        -        7   4       5        -         -  -       -        9       12   ?       -      12        -  -

 

6.

 

 

 

       . 2   . 3   . 5   . 7   . 9

  

แนวคิด.  ลักษณะอนุกรม บวกจากบนลงล่าง  -1   +2   -3 
              1. แถว 2  ลงล่าง เป็น 7 คือ เพิ่ม 3 
              2. แถวสุดท้าย   7 เพิ่ม 3 เป็น 10  +2 เป็น 12

              3. แถว  3  จาก 9 ลงล่าง เพิ่ม 3 = 12

              4. แถวแรก ดูจากแถว 2 จาก 4 เป็น 5 คือ เพิ่ม 1
                  จากบนลงล่าง จึงเป็น  1+3 =4 +2 = 6 +3 + = 9

              ข้อนี้  ตอบ  จ.  3

-       -        9      10 

1      2        -        -

-       6      10       -

2      -       -         ? 

กล่องข้อความ: -       -        9      10   1      2        -        -   -       6      10       -  2      -       -         ?  

 

7.

 

 

  

   ก.  6   .  8   . 9   . 11  . 12

แนวคิด, 
             ลักษณะอนุกรม  2+1 = 3 +4 = 7 + = 8
             

5       -        6         -
-      6         -         8     
-        7       ?         -

1       4       -          6 

กล่องข้อความ: 5       -        6         -  -      6         -         8       -        7       ?         -   1       4       -          6  

 

8.

 

 

 

     . 2   . 3   . 4   . 5   . 7

แนวคิด.  ลักษณะอนุกรม 4+3 = 7 -  2 = 5
ข้อนี้ ตอบ
  ง.  5
             

 

 

-        -       12      24

6      12      -          ?

 -      24     72        - 

12     -        -          - 

12     -       -        -1        -       ? 7      -        8        -

-       0       2       -1

4       -        9       ?

กล่องข้อความ: -        -       12      24   6      12      -          ?   -      24     72        -   12     -        -          -   12     -       -        -1        -       ? 7      -        8        -  -       0       2       -1 4       -        9       ?

 

9.

 

 

 

 ก.  16   . 34   . 68   .70   . 72  

แนวคิด.  ลักษณะอนุกรม 6x2 = 12 x 3=36 x2 =72
              เป็นการคูณ
             ข้อนี้ ตอบ  จ.  72              

?       9        -       36

6       18      -         - 

18     -      108       -               
-      108      -         -

กล่องข้อความ: ?       9        -       36  6       18      -         -   18     -      108       -                 -      108      -         -

 

10.

 

 

 

     . 3   . 4   . 8   . 12   . 14

แนวคิด.  ลักษณะอนุกรม
              พิจารณา แถวที่  2   จาก 18 ÷ 3 = 6
              เพราะฉะนั้น แถวที่ 1 จาก 9  ÷ 3 = 3
              ข้อนี้ ตอบ  ก.  3
             

4       -        6       - 

8       4        -       -             
-        1       3       -

 ?       3        -       -         -

-       0       2       -1

4       -        9       ?

กล่องข้อความ: 4       -        6       -   8       4        -       -               -        1       3       -   ?       3        -       -         -  -       0       2       -1 4       -        9       ?

 

11.

 

 

 

      . 3   . 4   . 6   . 7   . 8

 

แนวคิด.  ลักษณะอนุกรม
              พิจารณา แถวแรก จากบนลงล่าง ดังนี้
              4+4 = 8 -3  = 5 +2= 7
              ข้อนี้ ตอบ  ง.  7
             

-       12       4        -

6       3        -        -

12      -        -        1

4       ?        -        -

กล่องข้อความ: -       12       4        -  6       3        -        -  12      -        -        1   4       ?        -        -

 

12.

 

 

 

      . 1   . 2   . 3   . 5   . 6

แนวคิด.    ลักษณะอนุกรม
              พิจารณา แถวแรก จากบนลงล่าง ดังนี้
              แถวสอง    6 3 3
               แถวสาม  12 3  = 9
    ฉะนั้น แถวสี่ =     4 -3  = 1
              ข้อนี้ ตอบ  ก.  1
             

 

3        6        -        36 

-       18      54        -

-       36       -       216
   
?       -       108       -   

กล่องข้อความ: 3        6        -        36   -       18      54        -   -       36       -       216      ?       -       108       -   

 

13.

 

 

 

         . 15   .17   . 18   . 22   . 34

 

แนวคิด.   คิดจากบนลงล่าง
พิจารณาที่แถวสองก่อน
  6 x 3 = 18
                                      18 x 2 = 36
                                      36 x 1 = 36
ฉะนั้น แถวที่หนึ่ง            3 x 3 = 9
                                         9 x 2 = 18
                                        18 x 1 = 18
ตอบ.
  ค.  18

-          8         -       9 

15      11        -         -

15       -        12        -

-        10        -        ?

กล่องข้อความ: -          8         -       9   15      11        -         -  15       -        12        -  -        10        -        ?

 

14.

 

 

 

 
          . 9   . 11   . 12   . 14   . 16

แนวคิด.   12 – 4 = 8+1 =  9+0 = 9
                15 – 4 = 11+1 = 12+0 = 12
                15 – 4 = 11+1 = 12+0 = 12
                14 – 4 = 10+1 = 11+0 = 11

15       -        -         6 

5        0         -         -             
-         5        2       -

9        -          ?       -

กล่องข้อความ: 15       -        -         6   5        0         -         -              -         5        2       -   9        -          ?       -

 

15.

 

 

 

               . 1   . 2   . 3   . 4   . 6

แนวคิด.
            แถวที่  4 =9-1=4-3=1
             ตอบ  1

-       12       24       48 

24     -         12         -        
8      2          -         8
    
-       0         ?           4

กล่องข้อความ: -       12       24       48   24     -         12         -          8      2          -         8       -       0         ?           4

 

16.

 

 

 

                  . 1   . 2   . 3   . 4   . 5

 

แนวคิด.  เป็นการหารจากลงล่าง 
              คือ หาร  2 หาร 3 หาร 2
ดังนี้       24÷2 = 12
          12÷3 = 4
            4÷2 = 2
ข้อนี้ตอบ  ข. 2

 

 

14         -       11        -

-           5        6         -

6          2         -         -             
-          1         ?        -

กล่องข้อความ: 14         -       11        -  -           5        6         - 6          2         -         -               -          1         ?        -

 

17.

 

 

 

. 2   . 4   . 5   . 6   . 8

 

แนวคิด.
          คิดลัดในแถวที่ 2 เลย  คือ  5+1=6
      ฉะนั้นแถวที่ 4 คือ          1+1=2
      ข้อนี้ตอบ  2

-         19       14        -     
11        ?         -        10

7          -        4         -

-         7          -         4

กล่องข้อความ: -         19       14        -       11        ?         -        10 7          -        4         -  -         7          -         4

 

18.

 

 

 

           . 7   . 8   . 10   . 12   . 13

แนวคิด.  ข้อนี้คิดจากบนลงล่าง 
                โดยพิจารณาจากแถวที่  2 ลงล่าง
                 โดยเป็นการลบ -6  -4  -2 ดังนี้
                   19- 6 = 13
              13-4  =  9
                9- 2 =  7
ข้อนี้ตอบ
  13

-          9        -        10 

15     11        -         -

?         -        8         7

-        9       11         -

กล่องข้อความ: -          9        -        10   15     11        -         -  ?         -        8         7   -        9       11         -

 

19.

 

 

       
          . 6   . 8   . 10   . 11   . 13

 

แนวคิด.  คิดจากแถวที่ ก่อน 
        คือ  จาก 9 แล้วเป็น 11 คือ  +  ด้วย 2
แถวที่  คือ  จำนวนอะไร + 2 จะได้ 8
                  นั่นคือ  6+2 = 8
แถวที่  2 จาก  15 เป็น  11 นั่นคือ 15-4=11
ฉะนั้นแถวที่  3 จำนวนอะไร-4 =6 
                           คำตอบคือ  10
 

-         12       8         - 

5         -         -         8

9       14        -         -

-         8         -         ?

กล่องข้อความ: -         12       8         -   5         -         -         8  9       14        -         -   -         8         -         ?

 

 

 

 

 

   ห.ร.ม ค.ร.น.    

...  ย่อมาจาก    ตัวหารร่วมมาก  ………ออกสอบ กทม. ปี  2542

นิยาม  : ..  ของจำนวนสองจำนวน  คือ จำนวนเต็มบวกที่มากที่สุดที่ไปหารจำนวนทั้งสองนั้นลงตัว

 

วิธีหา  ..อาจทำได้หลายวิธี  ดังนี้    

1.       โดยวิธีแยกตัวประกอบในรูปผลคูณของจำนวนเฉพาะ

        ..คือ  ตัวประกอบที่สัมพันธ์กัน

2.       โดยวิธีตั้งหารสั้น

        ..คือ  ผลคูณของจำนวนที่เป็นตัวหารร่วมทุกจำนวน

ตัวอย่าง

(1)      จงหา ห... ของ  12  และ  18    ……..ออกสอบ  สปจ. ปี 2542

12     =  2 x 2 x 3

18     =  2 x 3 x 3

ดังนั้น ห..  ของ 8 และ 12 คือ 2 x 2 x 2 x 3

ตัวประกอบที่มากที่สุดของ 12 และ 18 คือ 2 x 3  หรือ 6

(2)    นั่นคือ  ..ม ของ 12 และ 18   คือ  6

 

การหา  ค...

กล่องข้อความ: การหา  ค.ร.น.

 

...  ย่อมาจาก    ตัวคูณร่วมน้อย  ………ออกสอบ  สปจ. ปี  2542

นิยาม  : ..  ของจำนวนสองจำนวน  คือจำนวนเต็มบวกที่น้อยที่สุดที่จำนวนทั้งสองนั้นหารลงตัว

 

วิธีหา ค..     อาจทำได้หลายวิธี    ดังนี้

1. โดยวิธีแยกตัวประกอบ   ในรูปผลคูณของจำนวนเฉพาะ

        ..คือผลคูณของตัวประกอบร่วมกันกับตัวประกอบที่เหลือทุกจำนวน

2.       โดยวิธีหารสั้น

..คือผลคูณของตัวหารร่วมทุกตัวกับผลหารสุดท้ายทุกตัว

3.       โดยวิธีใช้สูตร  ผลคูณของจำนวนสองจำนวน  ... x  ...

...  =  ผลคูณขอจำนวนสองจำนวน/ ...

ตัวคูณร่วมน้อย  ..   ……..ออกสอบ  สปจ. ปี  2542

(1)    หา ค... ของ  8 และ  12

8         =  2 x 2 x 2

12     =  2 x 2 x 3

(2)    จงหา ค... ของ  30  และ  42

 30   =  2 x 3 x 5

        42   =  2 x 3 x 7

               เพราะฉะนั้น  ... = 2 x 3 x 5 x 7 =  210

        (3)  จงหา  ค.ร.น. และ ห.ร.ม. ของ  8 12   และ  60

                   8  =  2 x 2 x 2

                    12 =  2 x 2 x 3

                    60 =  2 x 2 x 3 x 5

เพราะฉะนั้น  ห.ร.ม.  =  2 x 2 = 4

                       ค.ร.น.  =  2 x 2 x 2 x 3 x 5 = 120

 

          (4)  จำนวนใดที่น้อยที่สุดที่หาร    6,    8  และ   12  แล้วเหลือเศษ  3
แนวคิด.
  หา ค.ร.น. ของทั้ง  3  จำนวน  แล้วบวกด้วย  3  ดังนี้
                  ค.ร.น.  6  2 x 3

                             8  =  2 x 2 x 2

                  ค.ร.น. 12 =  2 x 2 x 3

         และ  ค.ร.น. 12  =  2 x 2 x 3

                                    =  24

เพราะฉะนั้นเลขจำนวนนั้น  คือ   24  +  3  =  27      Ans.

 

              (5)   จงหาจำนวนที่มากที่สุดที่หาร  162 246  และ  282  แล้วเหลือเศษ  6  เท่ากัน
แนวคิด.
    เอาเศษ  6  ลบออกจากสามจำนวน  แล้วหา  ห.ร.ม.  ดังนี้
                      162 -  6   =  152  =  2 x 2 x 2 x 13

                      246 -  6   =  240  =  2 x 2 x 2 x 2 x 5

                     282  -  6   =  272  =  2 x 2 x3 x 23

เพราะฉะนั้น  ห.ร.ม.  =  2 x 2 x3  = 12

    เลขจำนวนนั้นคือ  12   Ans.

 จำนวนตัวประกอบของจำนวนนับ

ตัวประกอบ  ………ออกสอบ  สปจ. ปี  2543

(1)    ตัวประกอบของ  12  คือ  1, 2,  3,  4,  6  และ 12

(2)    ตัวประกอบของ  18 = 2 x 3 x 3

(3)    ตัวประกอบของ  40 = 2 x 2 x 2 x 5

        ผลคูณของจำนวนสองจำนวน  ..  ...

 

 

 

  ร้อยละ หรือ เปอร์เซ็นต์    
 

ตัวอย่างแนวข้อสอบ

1.       25ของ  240  เท่ากับเท่าไร

ก.  20              ข.  30      ค.  50      ง.  60

แนวคิด.

100%  =  240 

25%    =  x  25  =  60                   Ans.

 

2.       60ของ  15  กับ  50 % ของ  16  ต่างกันเท่ากับเท่าไร

ก.  0                ข.  1        ค.  4        ง.  5 

แนวคิด.

100%  =  15 

60%    =  x  60  =  9      

ทำนองเดียวกัน  50% ของ 16 =    x  50  =  8

  ต่างกัน          =    9 – 8     = 1            Ans.

 

3.       เหล้า  1  ถัง  มีแอลกอฮอล์  60 เอาไปผสมกับน้ำเปล่า    ถัง  อยากทราบว่าเหล้าใหม่นี้มีแอลกอฮอล์กี่เปอร์เซ็นต์

ก.  25 %         ข.  50                 ค.  75%                  ง.  100

แนวคิด.

                         เหล้า  1  ถัง  มีแอลกอฮอล์       =   ถัง

           เหล้า  1  ถัง  เอาไปผสมกับน้ำเปล่า    ถัง  เป็นเหล้าผสมใหม่  1 +   =   ถัง

                         เหล้า    ถัง  มีแอลกอฮอล์       ถัง

 เหล้า  100  ถัง    มีแอลกอฮอล์      x  = 50 ถัง =    50 %   Ans.

 

 

4.       10ของนักเรียนหญิงเท่ากับ  5ของนักเรียนชาย  ถ้านักเรียนชายมี  300  คน  อยากทราบว่านักเรียนหญิงมีกี่คน

ก.  120           ข.  130                   ค.  140                   ง.  150 

แนวคิด.

                5ของนักเรียนชาย  =  300  x  = 15  คน แต่  10ของนักเรียนหญิงเท่ากับ  5ของนักเรียนชาย  10ของนักเรียนหญิงเท่ากับ  15  คน 
ซึ่งก็คือ
  นักเรียนหญิงทั้งหมด = 15  x  =    150  คน        Ans.

 

5.       30ของ  1 ชั่วโมง  เท่ากับกี่นาที

ก.  20              ข.  19                      ค.  18                      ง.  17

แนวคิด.

30% ของ  1 ชั่วโมง (60 นาที)    =  x  60  =  18       Ans.

 

6.       35ของ  40 %  ของ  1200  เท่ากับเท่าไร

ก.  178           ข.  168                   ค.  158                   ง.  148 

แนวคิด.

   =   168          Ans.

 

7.       พ่อค้าปิดราคาสินค้าไว้  190  บาท  เมื่อไม่มีลูกค้ามาซื้อเขาจึงลดราคาลง 20 ถ้าเขาต้องการขายสินค้าในราคาเดิมเขาจะต้องเพิ่มอีกกี่เปอร์เซ็นต์ 

ก.  25%          ข.  24%                  ค.  15%                  ง.  14

แนวคิด.

ปิดราคาสินค้าไว้  190  บาท  ลดราคาลง 20 เหลือ  190 x  =  152  บาท  ถ้าต้องการขายในราคาเดิมเขาต้องเพิ่มเงินอีก  190 -  152 = 38  บาท

                  152  บาท  ต้องเพิ่ม  38  บาท  ถ้า  100  บาท  ต้องเพิ่ม    =   25%  Ans.

  

 

 

 

8.       5ของเลขจำนวนใดเท่ากับ  500

ก.  2,500        ข.  10,000              ค.  20,000              ง.  52,000

แนวคิด.

                 5%     =   500

                100%  =  =  10,000  Ans.

 

9.       คนหมู่บ้านหนึ่งมี  300  คน  เป็นผู้ชาย  180  คน  จะเป็นผู้หญิงกี่เปอร์เซ็นต์

ก.  10%          ข.  40%                  ค.  20                 ง.  50%

แนวคิด.

                คน  300  คน   เป็นชาย  180  คน  ที่เหลือเป็นหญิง 300 -  180  =  120  คน

                จำนวนคนทั้งหมด  300  คน  เป็นผู้หญิง    =  40

                                                                          =  40 %     Ans.

 

10.    30ของ  1 ชั่วโมง  ต่างกับ  20ของ  1 ชั่วโมง  กี่นาที

ก.  6  นาที             ข.  8  นาที                       ค.  5  นาที              ง.  4  นาที

แนวคิด.

30% ของ  1 ชั่วโมง (60 นาที)    =  x  60  =  18      

20% ของ  1 ชั่วโมง (60 นาที)    =  x  60  =  12

       30ของ  1 ชั่วโมง  ต่างกับ  20ของ  1 ชั่วโมง  อยู่  18 – 12 =  6 นาที      Ans.

 

 

 

    เศษส่วน    

หลักของเศษส่วนและทศนิยมที่ควรจำ  มีดังนี้

1.  การแปลงทศนิยมให้เป็นเศษส่วน
     ก.  0.45    =      

     .  0.45  =       =     

 2.  การแปลงเศษส่วนให้เป็นทศนิยม  ทำได้โดยเอาส่วนหารเศษ

     ก.    =  5 3  =  0.60                 

     ข.    =  4 7  =  0.57 

     ค.   =  9 16  =  0.56

 

ตัวอย่างแนวข้อสอบ         

1.       เศษส่วนต่อไปนี้ข้อใดเรียงลำดับจากค่าน้อยไปหามาก

ก.  , , ,                               ข. , , ,

ค.    , , ,                              ง.  , ,

แนวคิด.

=  0.60  ,   = 0.71  ,   = 0.88 , =  0.86

เฉลย  ง.

2.       ผลต่างระหว่าง    ของ  5  กับ  0.6  ของ  5  เท่ากับเท่าไร

ก.  4          ข.                    ค.                   

แนวคิด.

  ของ  5    x 5   =    กับ  0.6  ของ  5  =  0.6 x 5 = 3

 ผลต่าง  -  3  =     =        Ans.

 

ทศนิยม

(1)    ค่าประจำหลักทศนิยมตำแหน่งที่   มีค่าเท่ากับ    1/10 

(2)    ค่าประจำหลักทศนิยมตำแหน่งที่   มีค่าเท่ากับ    1/100

(3)    ค่าประจำหลักทศนิยมตำแหน่งที่   มีค่าเท่ากับ    1/1000

1.       เลข  ในหลักพัน  มากกว่า เลข 9   ในหลักร้อย  เท่าไร…………….ออกสอบ  สปจ. ปี 2542

9         ใน  หลักพัน  = 9000

9    ใน  หลักร้อย  = 900

2.       0.4896 เขียนเป็นเศษส่วนได้อย่างไร……………..ออกสอบ  สปจ. ปี 2542

3.       เปโซ  ยูโร  หยวน…….คือ………(เงินตรา)…………ออกสอบ   ออกสอบ  สปจ. ปี 2542

4.       ไร่   งาน  วา 

 

 

การนับจำนวนขา หัว และตัวของสัตว์
 

ตัวอย่างที่  1  สุนัข  เป็ด  และงู  ถ้านับหัวรวมกันได้  10  หัว และปรากฏว่า  หัวเป็ดรวมกับหัวงู
                     จะเป็น  4  เท่าของหัวสุนัข  แต่ถ้านับขาจะปรากฏว่าเท่ากันพอดี  อยากทราบว่างูมีกี่ตัว?
                     ก.  6  ตัว         ข.  3  ตัว      ค.  4 ตัว       ง.  8  ตัว

แนวคิด. 
             1. หัวของเป็ดรวมกับหัวงู จะเป็น  4  เท่าของหัวสุนัข   และ 3 ชนิด รวมกันเป็น 12 หัว  

             2.  ความเป็นไปได้มีอยู่กรณีเดียวคือ หัวเป็ดกับหัวงู  8  หัว   หัวสุนัข  2  เท่านั้น (4 เท่า)
                   นั่นคือ  สุนัข  2  หัว    นับขาได้   8  ขา
              3.  ขาสุนัขเท่ากับขาเป็ดรวมกับขางู (ไม่มีขา)  เพราะฉะนั้น เป็ดมี  8 ขา  เท่ากับ 4 ตัว

                    แทนค่า  = 10 - 2 4 = 4      

                    ตอบ  งูมี  4  ตัว Ans.

 

ตัวอย่างที่  2   หมู  วัว  ไก่  และห่าน  นับขารวมกันได้  96  ขา  ขาหมูเท่ากับขาไก่  ขาวัว และขา    ห่านรวมกัน ถ้าขาวัวเท่ากับขาไก่  แต่เป็นครึ่งหนึ่งของขาห่าน อยากทราบว่าสัตว์ทั้ง 4 ชนิดมีกี่ตัว ?

                  ก.  25   ตัว         ข.  30   ตัว     ค.  33  ตัว      ง.  36  ตัว

แนวคิด. 
             1. ขาหมู  =     = 48                                      = 12  ตัว

             2. ขาวัวเท่ากับขาไก่  แต่เป็นครึ่งหนึ่งของขาห่าน 

                  เพราะฉะนั้น  ขาห่าน   48÷ 2     =   24  ขา     = 12   ตัว

                                        ขาวัว      24÷ 2     =   12   ขา    =   3   ตัว

                                        ขาไก่      24÷ 2     =   12   ขา    =  6   ตัว

                   เพราะฉะนั้น  สัตว์ทั้ง  4  ชนิด =   12 + 12+ 3 + 6 = 33    ตัว  Ans.

ตัวอย่างที่  3   วัว สุกร  และไก่  นับขารวมกันได้  120  ขา   สัตว์ทั้ง  3  ชนิด  มีจำนวนตัวเท่ากัน  
                      อยากทราบว่ามีอย่างละกี่ตัว ?

                      ก.  10  ตัว          ข.  12 ตัว       ค.  20 ตัว       ง.  25  ตัว

แนวคิด. 
             1. วัว  1   ตัว  l สุกร  1  ตัว  และไก่  1  ตัว  นับขารวมกันได้    (4+4+2)    =  10  ขา

             2. เพราะฉะนั้น  วัว สุกร  และไก่  นับขารวมกันได้     =   12  ตัว       Ans.

ตัวอย่างที่   4    นก  เสือ  วัว  และสุกร    มีอย่างละเท่า ๆ กัน  ถ้านับขารวมกันได้  182  ขา  
                         อยากทราบว่ามีวัวกี่ตัว ?

                         ก.  10  ตัว         ข.  12  ตัว      ค.  13 ตัว       ง.  15  ตัว

แนวคิด. 
             1. นก  เสือ  วัว  และสุกร    อย่างละ  1  ตัว  นับขารวมกันได้ (2+4+4+4)    =   14  ขา  

             2. เพราะฉะนั้น  นก  เสือ  วัว  และสุกร       =  13  ตัว       Ans.

ตัวอย่างที่   5    เป็ด กับม้า  เมื่อนับขา ปรากฏว่าขาเป็ดเป็น   ของขาม้า   ถ้าม้ามี 16  ตัว  เป็ดจะมีกี่ตัว?

                  ก.  10  ตัว               ข.  12  ตัว      ค.  13  ตัว      ง.  15  ตัว

 

 

 

แนวคิด. 
             1. ม้า มี  16  ตัว  มีขา  (16 x 4)    =   64  ขา  

             2.ขาเป็ดเป็น       ของขาม้า    เพราะฉะนั้น  ขาเป็ดมี    x 64    =  24  ขา
                 หมายความว่า  เป็ด     =  12  ตัว      Ans.

ตัวอย่างที่   6    ช้าง  หมู  แมว  มีขาอย่างละเท่า ๆ กัน  เมื่อนับขา ปรากฏว่า นับขารวมกันได้  96  ขา
                         อยากทราบว่าหมูกับแมวรวมกัน  จะมี ?

                         ก.  8  ตัว        ข.  16 ตัว       ค.  24  ตัว      ง.  32  ตัว

แนวคิด. 
             1. ขาช้าง  ขาหมู  ขาแมว  อย่างละ  1  ตัว มีขารวมกัน (4+4+4) = 12  ขา     

             2.  จำนวนสัตว์มีชนิดละ     =  32  ขา
              3   มีอย่างละ                =  8  ตัว    

4.  นั่นคือ  หมูกับแมวรวมกัน 8 + 8  =  16  ตัว   Ans.

ตัวอย่างที่  7   ห่าน  8  ตัว  หมู  15  ตัว  นก 4  ตัว  และเต่า  3  ตัว  มีขารวมกับหัวทั้งหมดเท่าไร?

                       ก.  120          ข.  126        ค.  130        ง.  136

แนวคิด. 
             1. ห่านมี  8  หัว 16  ขา รวม  24     

             2. หมูมี 15 หัว 60 ขา  รวม 75    

3. นกมี 4 หัว 8 ขา รวม 12

4 . เต่ามี  3  หัว  12  ขา  รวม  15 

      รวมหัวกับขา  =  24 + 75 + 12 + 15 = 126    Ans.
ตัวอย่างที่  8  นก  10  ตัวมีขาเท่ากับวัวจำนวนหนึ่ง  ถ้าขาวัวเท่ากับจำนวนไก่ทั้งหมด 
                      อยากทราบว่าไก่มีทั้งหมดกี่ขา ?

                         ก.  160  ขา          ข.  120  ขา           ค.  80   ขา          ง.  40  ขา

แนวคิด. 
             1. นกมี  10  ตัว  มีขา     (10x2)  =    20  ขา       

วัวมี  20  ตัว  จะมีขา (20x4)  =   80  ขา

ไก่มี 80  ตัว  จะมีขา  (80x2)  =   160  ขา  Ans.

 

ตัวอย่างที่  9  ไก่กับหมู  ถ้านับขาปรากฏว่าเท่ากันพอดี  ถ้านับหัวได้  27  หัว  จะเป็นไก่กี่ตัว ?

                         ก.  15  ตัว           ข.  16  ตัว          ค.  1  ตัว ง.  18  ตัว

แนวคิด.

1.       ไก่กับหมู  ถ้านับขาปรากฏว่าเท่ากันพอดี  แสดงว่าไก่เป็น  2  เท่าของหมู  คือไก่ 2  ส่วน  หมู 1  ส่วน  รวมเป็น  3  ส่วน 

2.       จำนวน  3  ส่วน  27  หัว    

3.       มีไก่  2  ส่วน     x  2  =  18 ตัว Ans.

ตัวอย่างที่  10  ไก่กับหมูนับขารวมกันได้  132  ขา  แต่ถ้านับหัวรวมกันได้  49  หัว 
                         อยากทราบว่านับหัวรวมกันได้กี่ตัว ?

                            ก.  15  ตัว   ข.  17  ตัว               ค.  19  ตัว               ง.  21  ตัว

แนวคิด.

ก.       ให้ไก่มี  ตัว  มี หัว  มี 2ขา  หมูมี  ตัว  มี หัว  มี 4y  ขา

   2 +  4y  =  132   ………………..……. (1)

x + y  =  49  ………………………..(2)

(2) x 2               2x +2 y = 98 …………………….…..(3)  

(1) (3)                  2y  = 34 

                                      y  =   17 ตัว           Ans.
ตัวอย่าง  11  ควาย วัว ไก่ นับขารวมกันได้  450  ขา  จำนวนสัตว์ทั้ง  ชนิดเท่ากันจะมีอย่างละกี่ตัว

แนวคิด

-          ควาย วัว ไก่  อย่างละตัว  นับขารวมกันได้  10  ขา

-          จะมีจำนวนอย่างละ  450 / 10  =  45  ตัว

  

 

การคำนวณอายุ
 

ตัวอย่างที่  1  เมื่อ  5  ปีก่อน  แดงอายุ 12  ปี  อีก  7  ปีข้างหน้าแดงจะมีอายุกี่ปี
                  ก.  14           ข.  17        ค.  24        ง.  28

แนวคิด. 
             1.  เมื่อ  5  ปีก่อน  แดงอายุ 12  ปี  แสดงว่า  ขณะนี้แดงมีอายุ  12+5  =  17   ปี

             2.  เพราะฉะนั้น อีก  7  ปีข้างหน้า  แดงจะมีอายุ   17+7  =  24   ปี    Ans.

ตัวอย่างที่  2   ปัจจุบัน  มานพ  มานะ  มานี  อายุรวมกัน 57  ปี  เมื่อ  3  ปีก่อน  อายุมานพ  มากกว่า
                      มานะอยู่  4  ปี  อีก  4  ปีข้างหน้า อายุมานะ  มากกว่ามานี  1  ปี  อยากทราบว่าปัจจุบัน
                      มานะอายุกี่ปี ?

                      ก.  24           ข.  22        ค.  20        ง.  19

แนวคิด. 
             1. กำหนดให้ปัจจุบัน  มานะ  มีอายุ  ปี

             2. มานพ  อายุ  x +4  และมานี  อายุ   x 1   ปี

             3. มานพ  มานะ  มานี อายุรวมกัน 57  ปี 
             4.  เพราะฉะนั้น   x +( x +4 ) +  (x 1)   =  57  ปี    

                                                         x  =  57 3   =  19  ปี       Ans.
ตัวอย่างที่  3   เมื่อ  7  ปีก่อน  ฉันทนา  อายมุมากกว่า ฉันทนีย์  2   ปี  ปัจจุบัน ฉันทนีย์ อายุเป็น 2 
                       เท่าของ ฉันทนันท์   อีก  10  ปีข้างหน้า ฉันทนันท์   อายุครบเบญจเพส  อยากทราว่า
                       ปัจจุบัน ฉันทนาอายุกี่ปี?
                        ก.  32           ข.  30        ค.  28        ง.  26

แนวคิด. 
             1. อีก  10  ปีข้างหน้า ฉันทนันท์   อายุครบเบญจเพส  คือ    =  25  ปี   

             2. เพราะฉะนั้น  ปัจจุบัน ฉันทนันท์   อายุ  25 - 10    =  15  ปี

             3. ปัจจุบันฉันทนีย์ อายุเป็น 2  เท่าของฉันทนันท์
                  เพราะฉะนั้นปัจจุบันฉันทนันท์อายุ  25 x 2    =  30  ปี

             4.  ฉันทนาอายมุมากกว่าฉันทนีย์  2   ปี
                  เพราะฉะนั้นปัจจุบันฉันทนา อายุ  30 + 2  = 32 ปี       Ans.

ตัวอย่างที่   พี่น้อง   คน อายุรวมกัน  18  ปี  คนสุดท้ายอ่อนกว่าคนกลาง  2  ปี  คนโตแก่กว่า
                       คนกลาง  2  ปี  คนกลางอายุเท่าไร?

                         .  10  ปี         .  8  ปี                  .  6  ปี           .  4  ปี 

แนวคิด

1.       อายุ  3  คน =   18  ปี    ถ้าเฉลี่ยอายุเท่า ๆ กัน จะได้   =  18 / 3 = 6 ปี 

2.       คนโต คือ 6+2  =  8  ปี   คนกลาง6  ปี  คนสุดท้าย  6-2=4  ปี  อายุรวมกัน  18  ปี 

ตัวอย่างที่   6  ฉันอายุเพียงครึ่งหนึ่งของท่าน  แต่อีก  10  ปี ข้างหน้า ฉันจะมีอายุ  2  ใน  3  ของท่าน
                       เวลานี้ท่านอายุเท่าไร?

                         .  15  ปี     .  20  ปี  .  25  ปี                 .  30  ปี 

แนวคิด

                ตอบ  20  ปี

ตัวอย่าง  ปัจจุบันบิดาอายุ  35  ปี  บุตรชายอายุ  ปี  อีกกี่ปีข้างหน้า  บิดาจะมีอายุเป็น 2 เท่าของ
                บุตร

วิธีทำ  ให้อีก   x   ปี   บิดามีอายุเป็น  เท่าของบุตร  ซึ่งสามารถเขียนลงในตารางได้    ดังนี้

 

อายุบิดา

อายุบุตร

ปัจจุบัน

35

6

อีก x ปี (อนาคต)

35 + x

6 + x

 

แต่อีก x ปี  บิดามีอายุเป็น  เท่าของบุตร

เพราะฉะนั้น        35 + x   =  2(6+x)

35-12      =  2x - x

        x   = 23 

ดังนั้น อีก 23 ปี บิดามีอายุเป็น 2 เท่าของบุตร…….ตอบ   

ตัวอย่าง  เมื่อแปดปีก่อน  พ่ออายุมากกว่าแม่  ปี  แม่มีอายุเป็น  เท่าของลูก  และอีก  ปี 
               ลูกจะอายุครบ  รอบ  ปัจจุบันพ่อมีอายุเท่าไร

แนวคิด

                - อีก  ปีลูกจะมีอายุครบ  รอบ  ฉะนั้น  ปัจจุบันลูกอายุ   24 – 7   =  17  ปี

                - แม่อายุ  เท่าของลูก                       ฉะนั้น                                  17 x 3   =  51  ปี

                - พ่ออายุมากกว่าแม่ 5  ปี     ฉะนั้น                               51+5    =  56  ปี

 

จำนวนเสาที่ปักตามเส้น    
 

จำนวนเสาที่ปักตามเส้นรอบวง 

สูตร  : จำนวนเสาทั้งหมด  = ความยาวของเส้นรอบวง ÷ ระยะทางที่ห่างกันระหว่างเสา

ตัวอย่างที่  1    สนามหญ้าเป็นรูปวงกลม  มีเส้นรอบวงยาว  80  เมตร  ปักเสาตามแนวเส้นรอบวง 

แต่ละต้นห่างกัน  เมตร  จะต้องใช้เสากี่ต้น………ออกสอบ  สปจ. ปี  2543

วิธีทำ        ความยาวเส้นรอบวง    =   80  เมตร

                   ระยะห่างระหว่างเสา    =   2  เมตร

                   จากสูตร

จำนวนเสาทั้งหมด        =   ความยาวของเส้นรอบวง  ÷ ระยะทางที่ห่างกันระหว่างเสา

                                      =  80÷ 2  =  40    ………(ตอบ  40  ต้น)

ตัวอย่างที่  สนามรูปวงกลม  ปลูกต้นสนรายรอบ  ทุกต้นห่างเท่ากัน  22  เมตร   จำนวน  14  ต้น 

 จงหาวงกลมรูปนี้มีรัศมียาวกี่เมตร  ………ออกสอบ  สปจ. ปี  2543

จำนวนเสาที่ปักตามแนวเส้นตรง

สูตร     จำนวนเสาทั้งหมด  ระยะทางทั้งหมด / 2  +  1   ระยะห่างที่เท่ากันระหว่างเสา

ตัวอย่างที่  ปักเสาตามแนวถนนในหมู่บ้าน  เสาแต่ละต้นห่างกัน  เมตร   และระยะทางจากเสา

ต้นแรกถึงต้นสุดท้ายยาว  80  เมตร  จงหาว่ามีเสาทั้งหมดกี่ต้น  ………ออกสอบ  สปจ. ปี  2543

วิธีทำ      ระยะทางทั้งหมด               =  80  เมตร

                 ระยะที่เท่ากันระหว่างเสา   =   2  เมตร

จากสูตร  จำนวนเสาทั้งหมด  ระยะทางทั้งหมด   +  1  ÷  ระยะห่างที่เท่ากันระหว่างเสา

                                                      =  80÷ 2  +  1   =  41    ……..(ตอบ  41  ต้น)

 

ผลบวกจำนวนนับที่เรียงตามลำดับที่เริ่มจาก  1

ผลบวกจำนวนนับที่เรียงตามลำดับที่เริ่มจาก  1    ………ออกสอบ  สปจ. ปี  2543

จำนวนนับที่เรียงตามลำดับ  ได้แก่  1   2   3   4  ….               

สูตร  ผลบวกของ

          1 + 2 + 3 + 4 +   …….  + n     =  n/ 2 (n+1)

                                                                    =  ปลาย÷ 2(ปลาย + 1 )

                                                                         เมื่อ เท่ากับปลาย    

ตัวอย่างที่  จงหาผลบวกของ  ………ออกสอบ  สปจ. ปี  2543

1.       1 + 2 + 3 + 4 + …….  + 12

2.       17  +  18 + 19 + …… + 56

3.       2.1 + 2.3 + 2.4 + ……3.5

วิธีทำ    1. ผลบวก                =  1 + 2 + 3 + 4  +…  + 12

                                                =  ปลาย÷ 2  (ปลาย + 1)  เมื่อปลาย  =  12

                                                =  12÷2 (12 + 1)

                                                =  6 x  13  =  78………….ตอบ

                2. ผลบวก           =  17 + 18 + 19 …  + 56

                                                = (1 + 2 + 3 + 4 +  … + 56) – (1 + 2 + 3 + 4 + … + 16)

                                                = 56÷ 2 (56 + 1) – 16÷ 2 (16 + 1)

                                                = 28 + 57 – 8 x 17

                                                = 1596 – 136

                                                = 1460……………….ตอบ

               

 

                   3. ผลบวก            =  2.1 + 2.3 + 2.4   … + 3.5

                                                =  10÷10 [2.1 + 2.3 +2.4 +  … 3.5]

                                                =  1÷10 [2.1 + 2.3 +2.4 +  … 3.5]

                                                =  1÷10 [21 + 23 +24 +  … 35]

 

ผลบวกจำนวนนับที่เป็นเลขคู่เริ่มต้นจาก  2

ผลบวกจำนวนนับที่เป็นเลขคู่เริ่มต้นจาก  2  ………ออกสอบ  สปจ. ปี  2543

จำนวนนับที่เป็นเลขคู่เรียงลำดับ  ได้แก่   2  4  6  8  …

สูตรผลบวกของ

2 + 4 + 6 + 8 +  …+ n      =  n/4 [n+2]

                                                =  ปลาย÷4 [ปลาย + 2 ]  เมื่อ n = ปลาย

ตัวอย่าง    1  ถึง  11  บวกกันได้เท่าไร……..ออกสอบ  สปจ. ปี 2542

แนวคิด     ตัวแรก + ตัวสุดท้าย x ตัวสุดท้าย/ 2

        1      +        11      x      11     ÷   2  =  66

 

ผลบวกจำนวนนับที่เป็นเลขคี่เริ่มต้นจาก  1

ผลบวกจำนวนนับที่เป็นเลขคี่เริ่มต้นจาก  1  ………ออกสอบ  สปจ. ปี  2543

จำนวนนับที่เป็นเลขคู่เรียงลำดับ  ได้แก่   1  3  5  7  …

สูตรผลบวกของ

1 + 3 + 5 + 7 +  …+ n      = [n + 1]ยกกำลัง2

                                                = [ปลาย + 2 ]ยกกำลังสอง  ÷ 4   เมื่อ  n = ปลาย

 

การหาผลบวกที่ไม่ใช่เริ่มจาก  1

ตัวอย่าง จงหาผลบวกของเลข  21   21  22  ….  99  ……….ออกสอบ สปจ. ปี 2542

วิธีคิด     ตอนที่  หาผลบวกของเทอมที่ ถึงเทอมที่  99

 ตอนที่  หาผลบวกของเทอมที่  ถึงเทอมที่  19

 ตอนที่  เอาผลบวกของเทอมที่  ลบด้วยผลบวกของตอนที่  ก็จะได้คำตอบ

 

 

 

 

แฟกทอเรียน   n   (n   Factorial)

นิยาม 

เมื่อ  เป็นจำนวนเต็มบวก   แฟกทอเรียน   n   หมายถึงผลคูณของจำนวนเต็มบวก  ตั้งแต่  ถึง  n   

แฟกทอเรียน   n    เขียนแทนด้วย   n!

ตัวอย่าง   6!   =  6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 =  720

               3!   =  3 x 2 x 1 =  6

               1!    =  1

 

วิธีเรียงสับเปลี่ยน   (Permutation)

วิธีเรียงสับเปลี่ยน   (Permutation)   จำนวนวิธีที่เป็นไปได้ทั้งหมดของการเรียงอันดับสมาชิกในเซตจำกัด เช่น  จำนวนที่จัดให้คน  คน ยืนเรียงแถว  จำนวนที่จัดให้แขกรับเชิญ  คน นั่งรอบโต๊ะกลม   วิธีจัดเรียงลำดับดังกล่าวเรียกว่า  วิธีเรียงสับเปลี่ยน


ตัวอย่างที่
  ถ้าจัดคน  คน   คือ     และ    ให้ยืนเรียงเป็นแถวตรง  จะจัดได้ทั้งหมด  วิธี

                      คือ  กขค  กคข  ขกค  ขคก  คกข  คขก

วิธีคิด    ตำแหน่งที่  จะให้     หรือ     ยืนก็ได้   จึงมีวิธีจัดได้  วิธี

              ตำแหน่งที่  เมื่อมีคนยืนตำแหน่งที่  แล้ว  ตำแหน่งที่  จึงเหลือคนให้จัดเพียง  คน  จึงจัดได้  วิธี  ส่วนตำแหน่งที่  นั้นมีเพียงวิธีเดียว  เพราะเหลืออยู่เพียง  คน

ดังนั้น  จำนวนวิธีที่จะจัดให้คน  คน  ยืนเรียงแถวตรงมีทั้งหมด   3!   =   3  x  2  x 1  =  6  วิธี


กฎข้อที่
  จำนวนวิธีเรียงสับเปลี่ยนของสิ่งของ n สิ่ง  ซึ่งแตกต่างกันทั้งหมดเท่ากับ  n!

ตัวอย่างที่  ถ้าปลูกต้นไม่  ชนิด ๆ ละ  ต้น  เรียงเป็นแถวตรง  จะมีวิธีจัดทั้งหมดกี่วิธี

วิธีทำ          วิธีจัดต้นไม้ดังกล่าวเป็นวิธีเรียงสับเปลี่ยนของสมาชิกทั้งหมดในเซตซึ่งมีสมาชิก  ตัว

                       จำนวนวิธีเรียงสับเปลี่ยนทั้งหมดเท่ากับ  5!            =  120  วิธี

กฎข้อที่  5  จำนวนวิธีเรียงสับเปลี่ยนเชิงวงกลมของสิ่งของ  สิ่ง  ซึ่งแตกต่างกันทั้งหมด  เท่ากับ  

                    (n – 1)!  วิธี

ตัวอย่างที่  1     มีวิธีจัดเรียงให้ผู้รับเชิญ  คน  ให้นั่งรับประทานอาหารรอบโต๊ะกลมซึ่งมีที่นั่ง 

                         ที่นั่งได้ทั้งหมดกี่วิธี

วิธีทำ  จำนวนวิธีที่จัดผู้รับเชิญ  คน  นั่งรอบโต๊ะกลม  =  (6 – 1)!

                                                                                                     =  5!

                                                                                                     =  120   วิธี      

ตัวอย่างที่  จะจัดให้  ชาย  คน  และหญิง  คน  ยืนสลับกันเป็นวงกลมได้กี่วิธี

วิธีทำ   กำหนดให้ชายคนหนึ่งอยู่คงที่

            ดังนั้น  เหลือชาย  คน  และหญิง  คน  ที่จะยืนในตำแหน่งต่าง ๆ ได้  ตำแหน่ง

           แต่เนื่องจากชายหญิงต้องยืนสลับกัน  จึงทำให้มีตำแหน่งที่ชายเลือกยืนได้  ตำแหน่ง  และหญิงหญิงเลือกยืนได้  ตำแหน่ง

                ชาย   คน   จัดอันดับกันเองได้    4!  วิธี

                หญิง  คน  จัดอันดับกันเองได้    5!  วิธี

ดังนั้น    จัดชาย  คน  และหญิง  คน  ยืนสลับกันเป็นวงกลมได้  = 4! x 5!  =  2880  วิธี

หมายเหตุ     อาจจัดให้ผู้ที่อยู่คงที่เป็นหญิงก็ได้    ซึ่งจะได้คำตอบเท่ากัน  


ตัวอย่าง
  โรงเรียนแห่งหนึ่งจัดอาหารกลางวัน  โดยให้นักเรียนเลือกอาหารคาวได้หนึ่งอย่างและ

  ขนมได้หนึ่งอย่าง  ถ้าโรงเรียนจัดอาหารคาว  อย่าง  และขนม  อย่าง  นักเรียนจะมีวิธี

  เลือกอาหารกลางวันทั้งหมดได้กี่วิธี

วิธีทำ       มีวิธีเลือกอาหารคาวได้  วิธี

               และในแต่ละวิธีที่เลือกอาหารคาวจะเลือกขนมได้  วิธี

ดังนั้น     จำนวนวิธีทั้งหมดที่เลือกอาหารกลางวันเท่ากับ  4  x 3 = 12  วิธี

 

สมการ

              สมการ  (Equation)  คือประโยคสัญลักษณ์ที่มีเครื่องหมายเท่ากับ  (=)  แสดงการเท่ากันของจำนวนใด ๆ ตั้งแต่ 1 จำนวนขึ้นไป  เช่น  x – 9 = 7

คำตอบของสมการ  (Solution  of  the Equation)

                จากสมการ   x – 9 = 7

                เรียก  ซึ่งเป็นสัญลักษณ์ที่ไม่ทราบค่าว่า  ตัวแปร (Variable)

             เรียกจำนวนใด ๆ ที่แทนค่าตัวแปรในสมการแล้วทำให้สมการนั้นเป็นจริงว่า  คำตอบของสมการ

                ดังนั้น  ถ้าแทน                x  = 16  ในสมการ

                จะได้                       16 – 9  =  7  ซึ่งเป็นจริง

เพราะฉะนั้น                          16       เป็นคำตอบของสมการ   x – 9 = 7

คุณสมบัติของการเท่ากัน  (Properties  of   Equality)

กำหนดให้    a      b  และ    c    เป็นจำนวนใด ๆ

1.       คุณสมบัติการบวกและลบ

1.1  ถ้า    a  =  b  แล้ว    a  +  b  =  b + c

1.2  ถ้า    a   =  b  แล้ว   a   -  c   =  b – c

1.3  ในทางกลับกัน  จะได้ว่า

        ถ้า           a  +  c  =  b  +  c  หรือ  a  -  c  =  b  -  c  แล้ว  a  =  b

2.       คุณสมบัติของการคูณและหาร

2.1    ถ้า  a  =  b    แล้ว  a  x  c  =  b  x  c

2.2    ถ้า  a  =  b     แล้ว  a÷c  =  b÷c   เมื่อ ไม่เท่ากับ  0

2.3    ในทางกลับกันจะได้ว่า

ถ้า   a  x  c  =   b  x  c     หรือ  a÷c  =   b÷c   เมื่อ c ไม่เท่ากับ  แล้ว  a  =  b

3.       การแก้สมการ  (Solving  the  Equation)

การแก้สมการ  คือการหาคำตอบของสมการนั้น  หรือการหาค่าตัวแปร  ซึ่งทำให้สมการนั้นเป็นจริง   การแก้สมการ  ทำได้  วิธี  คือ

1.       โดยการทดลองแทนค่าตัวแปรลงในสมการ  เพื่อให้สมการนั้นเป็นจริง

2.       โดยการใช้คุณสมบัติของการเท่ากัน  ในการหาคำตอบ

ตัวอย่างที่  จงหาคำตอบของสมการ  2x  +  1  =  5

วิธีทำ               จากสมการ                           2x  +  1  =  5

                       นำ  มาลบทั้งสองข้างของสมการ

                       จะได้                                        2x  +  1 - 1  =  5 - 1

                                                                                         2x  =  4

                         นำ  มาหารทั้งสองข้างของสมการ

                         จะได้                                    2x÷2   =  4÷2

                          เพราะฉะนั้น                               x  =  2

ตรวจคำตอบ    แทนค่า  ด้วย  ในสมการ  2x  +  1  =  5

                                จะได้    2(2)+1  =  5  เป็นจริง

                ดังนั้น    2  เป็นคำตอบของสมการ  2x  +  1  =  5

ตัวอย่างที่ 2     เชือกเส้นหนึ่งมีความยาว 210 เซนติเมตร  แบ่งออกเป็น 2 เส้น  โดยให้ 3 เท่าของ                 เชือกเส้นยาวเท่ากับ 4 เท่าของเส้นสั้น  จงหาความยาวของเชือกเส้นยาว

                        สมมติให้เชือกเส้นยาวมีความยาว                  x                           เซนติเมตร

                        ดังนั้น  เชือกเส้นสั้นมีความยาว          210 –  x                            เซนติเมตร

                             3  เท่าของเชือกเส้นยาว       =            3x                                  เซนติเมตร    

                             4  เท่าของเชือกเส้นสั้น        =           4 ( 210 – x )                    เซนติเมตร       

                        แต่  3 เท่าของเชือกเส้นยาว       =           4  เท่าของเชือกเส้นสั้น

                        ดังนั้น                 3x                   =           4 ( 210 – x )

                                                   3x                   =           840 – 4x 

                                         3x +  4x                    =           840

                                                   7x                    =          840

                                                    x                     =          840

                                                                                         7

                                                                            =         120

ตรวจคำตอบ แทนค่า  x = 120 ลงในสมการ 3x  =  4(210 – x)

                               จะได้               3(120)           =  4 (210 – 120)

                                                          360             =   4(90)   ซึ่งเป็นจริง
                                                                                       

                                ดังนั้น      ความยาวของเชือกเส้นยาวเท่ายาวเท่ากับ   120  เซนติเมตร

ตัวอย่าง  คำว่า  สอบ”  นำมาเรียงสลับที่  ได้กี่วิธี

                แนวคิด  คำว่า  สอบ”  มีพยัญชนะ  =  3 ตัว     (3!  =  3 x 2 x 1 = 6)

ตัวอย่าง  ถ้า    คือเลขคี่ จำนวนหนึ่ง  ซึ่งมีเลขถัดไปคือ  13  อยากทราบว่า  + 7  เป็นเท่าไร

                แนวคิด  :     คือ  11    ฉะนั้น  11  +  17    =  18

ตัวอย่าง   15 %  ของจำนวน  75  คือเท่าไร

                แนวคิด  :  100         =       75

                                    1          =      100

                                     15          =     75 x 15    =  500

                                                          100

ตัวอย่าง    จำนวน  1   ถึง  11  บวกกันได้เท่าไร

                แนวคิด  :   สูตร  =    (จำนวนแรก  +  จำนวนสุดท้าย)  x  จำนวนสุดท้าย

                                                                                                    2

                                                                 (1  + 11)  x  11  =  136    =  68    

             2         2

หมายเหตุ  :  ในการสอบทุกครั้ง     ระวัง ! ……. ทำข้อสอบไม่ทัน

       

 

 

 

 

 

ผลบวกของมุมภายในของรูปสามเหลี่ยม 

       

ทฤษฎีบท   ผลบวกของมุมภายในของรูปสามเหลี่ยมใด ๆ เท่ากับ  180  องศา

 

ขนาดของมุมภายนอกรูปสามเหลี่ยม 

ทฤษฎีบท  : ขนาดของมุมภายนอกรูปสามเหลี่ยมใด ๆ   เท่ากับผลบวกของขนาดมุมภายในที่อยู่ตรงข้ามกับมุมภายนอก

         การหาพื้นที่รูปสามเหลี่ยม    = ½  x  ฐาน  x  สูง

 

ทฤษฎีบท ผลบวกของมุมภายในรูปสามเหลี่ยมใด ๆ เท่ากับ  180  องศา

         การหาพื้นที่รูปสามเหลี่ยมฐานโค้ง    = ¼   x  พาย  รัศมียกกำลังสอง

 

การหาพื้นที่สี่เหลี่ยม

สูตร   1.  พื้นที่สี่เหลี่ยมจัตุรัส            =  ด้าน  ด้าน

          2.  พื้นที่รูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า        =  กว้าง  ยาว

          3. พื้นที่รูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน      =  ฐาน  สูง
          4. การหาลูกบาศก์                         =  กว้าง  ยาว  สูง

 

ตัวอย่างที่  จงหาพื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส  ซึ่งมีด้านกว้าง  นิ้ว 

1.       วิธีทำ    จากสูตร  สี่เหลี่ยมจัตุรัส         = ด้าน x ด้าน

                                                           =  9  x  9

                                ตอบ                     =  81   ตารางนิ้ว               

ตัวอย่างที่  จงหาพื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า  ซึ่งมีด้านกว้าง  นิ้ว  และด้านยาว  12  นิ้ว

2.       วิธีทำ    จากสูตร  สี่เหลี่ยมผืนผ้า         = กว้าง x ยาว

                                                        =  8  x  12

                                ตอบ                  =  96   ตารางนิ้ว               

สี่เหลี่ยมคางหมู       = ½  x สูง x (ผลบวกของดส้นทแยงมุม)
          สี่เหลี่ยมคางหมูนั้นต้องดูให้แน่  ความจริงแน่แท้ด้านคู่หนึ่งขนานกัน เศษหนึ่งส่วนสองนั้นต้องคุณกัน แทยงมุมนั่นคุณผลบวกกิ่งเอย.

 

 

 

การหาพื้นที่รูปวงกลม 

สูตร  =  22/7 x  r  x   r   (พาย  อาร์  ยกกำลังสอง)

 

การหาความยาวของเส้นรอบวง 

สูตร  =  2  x  22/7  x  r   (สอง  พาย  x  อาร์)

ตัวอย่าง  วิ่งรอบสนาม  รอบ  ได้ระยะทาง  352  เมตร  สนามแห่งนี้มีรัศมียาวเม่าไร

               . 9  เมตร    .  14  เมตร   . 32  เมตร   .  56  เมตร

              

ตัวอย่างที่  1 สัตว์เลี้ยง  ชนิด   มีไก่ 1/3  ของสัตว์ทั้งหมด  และมีเป็ด  2/3  สัตว์ที่เหลือเป็นหมู  อยากทราบว่ามีสัตว์เลี้ยงทั้งหมดกี่ตัว

                                      เพลงสูตรการหาพื้นที่

คำร้อง
  ศรายุทธ  บูรณ์เจริญ
ทำนอง เพลงป่าลั่น
 

               มาเถิดหนาเรามาหาพื้นที่  จัตุรัส นี้ด้านยกกำลังสอง

หาพื้นผ้านั้นก็น่าลอง  ผืนผ้านั้นต้อง กว้าง x ยาว

               สี่เหลี่ยมด้านขนานเท่ากับ ฐาน x สูง บอกแม่ป้าลุงเหมือนขนมเปียกปูน

              x ฐาน x สูง  ทุกคนหมายมุ่งว่าสามเหลี่ยมนั่นไป

              พื้นที่ของวงบอกตามตรงใช่เล่น  โปรดอย่าตื่นเต้น พายน์อาร์กำลังสอง

ความยาวรอบวงไม่งงชวนลอง  สองนั้นต้องคูณพายน์คูณอาร์

              สี่เหลี่ยมคางหมูนั้นต้องดูให้แน่  ความจริงแน่แท้ด้านคู่หนึ่งขนานกัน
             นั้นต้องคูณกัน ทแยงมุมนั้นคูณผลบวกกิ่งเอย. ( x เส้นทแยงมุม x (ผลบวกของกิ่ง)

 

แบบสรุปความ
                 โจทย์แบบสรุปข้อความ  มีหลักหรือกฎในการคิดหลายแบบ  เพื่อให้สามารถคิดได้รวดเร็วและถูกต้อง  จึงได้รวบรวมหลักในการสรุปแบบต่าง ๆ ไว้  ดังนี้

                1.  แบบเปรียบเทียบ  แบบนี้โจทย์จะกำหนดสมมติฐานมาให้อย่างน้อย  สมมติฐานแล้วหาข้อสรุป  ใน  สมมติฐานนี้จะมีคุณศัพท์เปรียบเทียบระหว่าง  สมมติฐานนั้น  คุณศัพท์เหล่านั้นได้แก่  ดีกว่า  สวยกว่า  สูงกว่า  ใหญ่กว่า  รวยกว่า  มากกว่า  ขยันกว่า  ฯลฯ  การสรุปของข้อหนึ่ง ๆ จะมีคุณศัพท์เปรียบเทียบมากกว่า  ตัวไม่ได้  เช่น ฉัน  ดีกว่า  แดง  แดง  รวยกว่า  ดำ  ข้อนี้สรุปไม่ได้

   

โตกว่า  B    B  โตกว่า  สรุปได้ว่า  โตกว่า  C

1.1  A  โตกว่า  B  B  โตกว่า  โตกว่า  สรุปได้ว่า  โตกว่า  จะสรุปว่า  โตกว่า  ไม่ได้  เพราะไม่ได้ใช้สมมติฐานทุกสมมติฐานที่กำหนดให้  หรือจะสรุปได้ว่า  โตกว่า  ก็ไม่ได้

1.2  A  รัก  B  B  รัก  สรุปไม่ได้เพราะคำว่า  รัก ”  เป็นกริยา  ไม่ใช่คุณศัพท์เปรียบเทียบ  แต่ถ้าใช้  รักมากกว่า  กินมากกว่า  ตีแรงกว่าได้  เช่น  ฉันกินข้าวมากกว่าน้อง  น้องกินข้าวมากกว่าแม่  สรุปได้ ฉันกินข้าวมากกว่าแม่

1.3  A  โตกว่า  B  C  เล็กว่า  สรุปไม่ได้  เพราะมีคุณศัพท์เปรียบเทียบมากกว่า  ตัว  คือมี  ตัว  ได้แก่ โตกว่า  กับ  เล็กกว่า  ในสมมติฐานทั้งสองมิได้ระบุว่า  เล็กกว่า ”  หมายถึงตรงกันข้ามกับ  โตกว่า

จะใช้ความหมายของคำที่ใช้ในภาษาไปช่วยสรุปไม่ได้  เพราะการสรุปต้องสรุปจากสมมติฐานเท่านั้น  ซึ่งสมมติฐานบางชุดอาจจะไม่เป็นความจริง  หรือได้ข้อสรุปที่ไม่เป็นความจริงก็ได้  ขอให้สรุปอย่างมีเหตุผลตามสมมติฐาน  เช่น

มากกว่า  2    2 มากกว่า  สรุปได้  มากกว่า  จะเห็นว่าสมมติฐานทั้งสองเป็นเท็จแต่ก็สรุปได้    และข้อสรุปเป็นเท็จ

มากกว่า  8  8  มากกว่า  สรุปได้  มากกว่า  จะเห็นว่าสมมติฐานแรกเป็นเท็จ

สมมติฐานที่  เป็นจริง  ดังนั้นจะเห็นได้ว่าการสรุปนั้นไม่คำนึงถึงข้อเท็จจริงแต่คำนึงถึงเหตุผล

2.  แบบจำแนกพวก

เป็นแบบที่อาศัยขอบข่ายของการกำหนดประเภทคน  สัตว์  สิ่งของ  ฯลฯ  เป็นหลักในการสรุป 

แบบนี้การวาดรูปประกอบจะช่วยให้สรุปได้ง่ายขึ้น  มีหลักสรุปดังนี้

                2.1   นก (ทุกตัวเป็นสัตว์บก  สัตว์บก (ทุกตัว) บินได้   สรุปได้  นกบินได้

                2.2   นกเป็นสัตว์บก       สัตว์ไม่ใช่สัตว์บกบินได้                    สรุปไม่ได้

                2.3   นกไม่ใช่สัตว์บก     สัตว์ที่ไม่ใช่สัตว์บกบินได้                 สรุปได้  นกบินได้

                2.4   นกไม่ใช่สัตว์บก     สัตว์บกบินได้                                    สรุปไม่ได้

                2.1  A  นกไม่ใช่สัตว์บก     สัตว์ที่ไม่ใช่สัตว์บกบินไม่ได้         สรุปได้  นกบินไม่ได้

                2.2  A  นกไม่ใช่สัตว์บก     สัตว์บกบินไม่ได้                            สรุปไม่ได้

                2.3  A  นกเป็นสัตว์บก       สัตว์บกบินไม่ได้                            สรุปได้  นกบินไม่ได้

                2.4  A  นกเป็นสัตว์บก       สัตว์ไม่ใช่สัตว์บกบินไม่ได้            สรุปไม่ได้

หมายเหตุ  ในสมมติฐานกรณีที่ไม่ได้กล่าวว่า  เป็นทุกตัว หรือ  บางตัว  หมายถึงทุกตัว

2.5    ครูทุกคนมีเมตตา  ฉันเป็นครู  สรุปได้  ฉันมีเมตตา

2.6    ครุทุกคนมีเมตตา  ฉันมีเมตตา  สรุปไม่ได้  เพราะขอบข่ายของสมมติฐานระบุเพียงแต่ว่า  ถ้าเป็นครูต้องมีเมตตา  แต่ไม่ได้ระบุว่า  คนไม่ใช่ครูมีเมตตาหรือไม่  ลักษณะนี้  คนที่ไม่ใช่ครูอาจเป็นคนมีเมตตาหรือไม่มีก็ได้  ดังนั้นคนมีเมตตา (ฉัน) จึงอาจเป็นครูก็ได้  อาจไม่ใช่ครูก็ได้ลักษณะเช่นนี้สรุปไม่ได้

2.7    ครูทุกคนมีเมตตา  ฉันไม่มีเมตตา  สรุปได้  ฉันไม่ใช่ครู

2.8    ครูทุกคนมีเมตตา  ฉันไม่ใช่ครู  สรุปไม่ได้  เพราะสมมติฐานระบุว่าครูทุกคนมีเมตตา  แต่ไม่ได้ระบุว่าคนที่ไม่ใช่ครูจะมีเมตตาหรือไม่  ฉะนั้นคนที่ไม่ใช่ครูอาจจะมีเมตตาหรือไม่มีเมตตาก็ได้  ลักษณะเช่นนี้สรุปไม่ได้

2.5    A  คนมีเมตตาทุกคนเป็นครู  ฉันมีเมตตา  สรุปได้  ฉันเป็นครู

2.6    A  คนมีเมตตาทุกคนเป็นครู  ฉันเป็นครู  สรุปไม่ได้  ดู  2.6

2.7    A  คนมีเมตตาทุกคนเป็นครู  ฉันไม่ใช่ครู  สรุปได้  ฉันไม่มีเมตตา

2.8    A  คนมีเมตตาทุกคนเป็นครู  ฉันไม่มีเมตตา  สรุปไม่ได้  ดู  2.8

2.9   โจรทุกคนไม่มีเมตตา  ฉันมีเมตตา  สรุปได้  ฉันไม่ใช่โจร

2.10 โจรทุกคนไม่มีเมตตา  ฉันไม่มีเมตตา  สรุปไม่ได้  ลักษณะเดียวกับ  2.6

2.11 โจรทุกคนไม่มีเมตตา  ฉันเป็นโจร  สรุปได้  ฉันไม่มีเมตตา

2.12 โจรทุกคนไม่มีเมตตา  ฉันไม่ใช่โจร  สรุปไม่ได้  ลักษณะเดียวกับ  2.8

2.9   A  คนไม่มีเมตตาทุกคนเป็นโจร  ฉันไม่มีเมตตา  สรุปได้  ฉันเป็นโจร

2.10 คนไม่มีเมตตาทุกคนเป็นโจร  ฉันมีเมตตา  สรุปไม่ได้  ลักษณะเดียวกับ  2.6

2.11 คนไม่มีเมตตาทุกคนเป็นโจร  ฉันไม่ใช่โจร  สรุปได้  ฉันมีเมตตา

2.12 คนไม่มีเมตตาทุกคนเป็นโจร  ฉันเป็นโจร  สรุปได้  ลักษณะเดียวกับ  2.8

2.13 นกทุกตัวเป็นสัตว์บก  สัตว์บกทุกตัวบินได้  สรุปได้  นกบินได้

2.14 นกทุกตัวเป็นสัตว์บก  สัตว์บกบางตัวบินได้  สรุปไม่ได้

2.15 นกทุกตัวเป็นสัตว์บก  สัตว์บกทุกตัวบินไม่ได้  สรุปได้  นกบินไม่ได้

2.16 นกทุกตัวเป็นสัตว์บก  สัตว์บกบางตัวบินได้  สรุปไม่ได้

2.13 นกบางตัวเป็นสัตว์บก  สัตว์บกทุกตัวบินได้  สรุปได้  นกบางตัวบินได้

2.14 นกบางตัวเป็นสัตว์บก  สัตว์บกบางตัวบินได้  สรุปไม่ได้

2.15 นกบางตัวเป็นสัตว์บก  สัตว์บกทุกตัวบินไม่ได้  สรุปได้  นกบางตัวบินไม่ได้

2.16 นกบางตัวเป็นสัตว์บก  สัตว์บกบางตัวบินไม่ได้  สรุปไม่ได้

แบบสรุปความแบบนี้  ถ้าจะสังเกตให้ดีจะเห็นว่า  แต่ละแบบมักมี  ข้อ  และหลักการสรุปก็

คล้าย ๆ กัน  หากได้อ่านทบทวนบ่อย ๆ จะทำให้สามารถสรุปได้รวดเร็ว  ลักษณะของสมมติฐานอาจเปลี่ยนแปลงไปได้มากมายหลายแบบ  แต่หลักการสรุปใช้หลักเดียวกัน

                3.  แบบมีเงื่อนไข  แบบนี้โจทย์จะกำหนด  สมมติฐานมาให้  สมมติฐานให้หาข้อสรุปสมมติฐานทั้ง  นี้จะมีความเกี่ยวเนื่องกันและทำให้เกิดข้อสรุปขึ้น  แต่ถ้าหากเงื่อนไขของสมมติฐานทั้งสองไม่สัมพันธ์กันก็สรุปไม่ได้เช่น

                3.1  ถ้าน้ำท่วมฉันจะซื้อเรือ  น้ำท่วม  สรุปได้  ฉันซื้อเรือ

                3.2  ถ้าน้ำท่วมฉันจะซื้อเรือ  น้ำไม่ท่วม  สรุปไม่ได้  เพราะสมมติฐานแรกระบุเพียงว่า  ถ้าน้ำท่วมฉันจะซื้อเรือ 

       ไม่ระบุว่าน้ำท่วมฉันจะซื้อเรือหรือไม่  ฉะนั้นการที่ฉันซื้อเรืออาจจะซื้อเมื่อน้ำท่วมก็ได้

3.3    ถ้าน้ำท่วมฉันจะซื้อเรือ  ฉันไม่ซื้อเรือ  สรุปได้  น้ำไม่ท่วม

3.4    ถ้าน้ำท่วมฉันจะซื้อเรือ  ฉันซื้อเรือ สรุปไม่ได้  เพราะสมมติฐานแรกระบุเพียงว่า  ถ้าน้ำท่วมฉันจะซื้อเรือ 

       ไม่ระบุว่าน้ำท่วมฉันจะซื้อเรือหรือไม่  ฉะนั้นการที่ฉันซื้อเรืออาจจะซื้อเมื่อน้ำท่วมก็ได้

3.5    ถ้าฝนไม่ตกแดงจะไปตลาด  ฝนไม่ตก  สรุปได้  แดงไปตลาด

3.6    ถ้าฝนไม่ตกแดงจะไปตลาด  ฝนตก  สรุปไม่ได้  ดู  3.2

3.7    ถ้าฝนไม่ตกแดงจะไปตลาด  แดงไม่ไปตลาด  สรุปได้  ฝนตก  เพราะถ้าฝนไม่ตก  แดงก็ต้องไปตลาด  แต่แดงไม่ไปตลาด  นั่นแสดงว่า  ฝนตก

3.8    ถ้าฝนไม่ตกแดงจะไปตลาด  แดงไปตลาด  สรุปไม่ได้  ดู  3.4

                4.  แบบเลือกอย่างหนึ่งอย่างใด

      แบบสรุปความเป็นแบบนี้  ส่วนมากมี  สมมติฐาน ๆ แรกมักเป็นข้อความ  ซึ่งต้องมีการให้เลือกอย่างใดอย่างหนึ่ง  โดยใช้คำว่า  หรือ ”  หรือใช้  ถ้า…..ต้อง ”  อาจจะลดเหลือ  ต้อง ”  ไว้เป็นที่เข้าใจกันก็ได้  เช่น

5.1    ดำหรือแดงคนใดคนหนึ่งต้องเฝ้าบ้าน  แดงไปโรงเรียน  สรุปได้  ดำเฝ้าบ้าน

5.2    ดำหรือแดงคนใดคนหนึ่งต้องเฝ้าบ้าน  แดงไม่ได้ไปโรงเรียน  สรุปไม่ได้

5.3    ดำหรือแดงคนใดคนหนึ่งต้องเฝ้าบ้าน  แดงไม่เฝ้าบ้าน  สรุปได้  ดำเฝ้าบ้าน

5.4    ดำหรือแดงคนใดคนหนึ่งต้องเฝ้าบ้าน  แดงเฝ้าบ้าน  สรุปไม่ได้  เพราะสมมติฐานแรกระบุเพียงว่าคนใดคนหนึ่งต้องเฝ้าบ้าน  แต่ไม่ได้กำหนดว่าจะเฝ้าทั้งสองคนไม่ได้  ลักษณะเช่นนี้จะสรุปว่า  ดำไม่เฝ้าบ้านไม่ได้

5.5    ลูกเศรษฐีทุกคนถ้าไม่ใช้รถเบนซ์ก็รถวอลโว่  นายโรจน์เป็นลูกเศรษฐีและไม่ได้ใช้รถวอลโว่  สรุปได้  นายโรจน์ใช้รถเบ็นซ์

5.6    ลูกเศรษฐีทุกคนถ้าไม่ใช้รถเบนซ์ก็รถวอลโว่  วิโรจน์ไม่ได้ใช้รถเบ็นซ์  สรุปไม่ได้  เพราะไม่ได้ระบุว่าวิโรจน์เป็นลูกเศรษฐีหรือไม่

5.  แบบสมมติฐานที่สรุปไม่ได้

สมมติฐานที่สรุปไม่ได้จะกล่าวถึงนี้  จะกล่าวนอกเหนือไปจากสมมติฐานที่สรุปไม่ได้ของแบบที่  ถึงแบบที่  และมักจะพบในข้อทดสอบบ่อย ๆ ซึ่งมีหลักสำคัญ  คือสมมติฐานแต่ละสมมติฐานไม่มีความสำพันธ์เช่น

6.1    พ่อเป็นคนขยัน  แม่เป็นคนประหยัด  ฉะนั้นลูกจะเป็นอย่างไร  สรุปไม่ได้

6.2    เมื่อเล็ก ๆ สมศักดิ์เป็นคนขยัน  พอโตขึ้นเขาสอบตก  ฉะนั้นต่อไปเขาจะเป็นอย่างไร  สรุปไม่ได้

6.3    พ่อเป็นตำรวจ  พี่เป็นทหาร  เขาควรจะเป็นอย่างไร  สรุปไม่ได้

6.4    ฉันรักอาชีพครูมากที่สุดแต่ขณะนี้ฉันทำงานธนาคารเพราะอะไร  สรุปไม่ได้

6.5    ประเทศไทยเป็นของคนไทย  ฉันรักประเทศไทยมาก  ฉันจะทำอย่างไร  สรุปไม่ได้                    

 

   

แบบทดสอบแบบสรุปความ    
คำชี้แจง.  แบบทดสอบชุดนี้มีข้อความที่กำหนดมาให้ ให้พิจารณาว่า สามารถสรุปได้หรือไม่
              ถ้าได้จะสรุปอย่างไร

1. คนที่มีความเมตตาทุกคน มีความสุข เพ็ญศรีเป็นคนมีเมตตา ฉะนั้น

 

ก. เพ็ญศรีมีความสุข

ข. เพ็ญศรีไม่มีความสุข

 

ค. คนเมตตามีความสุข

ง. คนมีความสุขมีเมตตา

 

จ. ข้อ ก. และ ข้อ ข. ถูก
 

 

2. บัณฑิตสูงกว่าประสาน ประสานสูงกว่าประพล ฉะนั้น

 

ก. บัณฑิตสูงกว่าประสาน

ข. ประสานสูงกว่าประพล

 

ค. ประพลสูงกว่าบัณฑิต

ง. บัณฑิตสูงกว่าประพล

 

จ. สรุปแน่นอนไม่ได้
 

 

3. คนไม่นับถือศาสนาใด ๆ เลยทุกคน เป็นคอมมิวนิสต์ ฉันนับถือศาสนาพุทธ ฉะนั้น

 

ก. ฉันเป็นคอมมิวนิสต์

ข. ฉันไม่ใช่โจร

 

ค. ฉันไม่ได้นับถือศาสนาอิสลาม

ง. ฉันไม่เป็นคอมมิวนิสต์

 

จ. สรุปแน่นอนไม่ได้
 

 

4. คนไทยบางคนมั่งมี คนมั่งมีทุกคนใจบุญ  ฉะนั้น

 

ก. คนมั่งมีบางคนเป็นคนไทย

ข. คนไทยบางคนใจบุญ

 

ค. คนมั่งมีบางคนใจบุญ

ง. คนมั่งมีทุกคนใจบุญ

 

จ. สรุปแน่นอนไม่ได้
 

 

5. สัตว์เลือดอุ่นเท่านั้นที่เลี้ยงลูกด้วยนม ช้างไม่ใช่สัตว์เลือดอุ่น  ฉะนั้น

 

ก. ช้างเลี้ยงลูกด้วยนม

ข. ช้างไม่ได้เลี้ยงลูกด้วยนม

 

ค. ช้างเป็นสัตว์ใหญ่ที่สุด

ง. ช้างเล็กกว่าปลาวาฬ

 

จ. สรุปแน่นอนไม่ได้
 

 

6. ถ้ารัฐบาลไม่ขึ้นภาษี ฉันจะซื้อรถ  ฉันซื้อรถ   ฉะนั้น

 

ก. รัฐบาลขึ้นภาษี

ข. รัฐบาลไม่ขึ้นภาษี

 

ค. ฉันเสียภาษี

ง. ภาษีแพง

 

จ. สรุปแน่นอนไม่ได้
 

 

7. เลข 7 ตัวเดียวเท่านั้นที่หาร 28 ลงตัว A หาร 28 ลงตัว  ฉะนั้น

 

ก. หารด้วย ลงตัว

ข. A หารด้วย  28  ลงตัว

 

ค. 28  หารด้วย A ลงตัว

ง. A คือเลข 7

 

จ. สรุปแน่นอนไม่ได้
 

 

8. ฉันรักพ่อมากกว่าพี่รักพ่อ พี่รักพ่อมากกว่าน้องรักพ่อ  ฉะนั้น

 

ก. ฉันรักพ่อมากกว่าน้องรักพ่อ

ข. พี่รักพ่อมากกว่าน้องรักพ่อ

 

ค. พี่รักพ่อมากกว่าฉัน

ง. ฉันรักพ่อมากกว่าพี่

 

จ. สรุปแน่นอนไม่ได้
 

 

9. A  ตั้งฉากกับ  B  C ตั้งฉากกับ  ฉะนั้น

 

ก. ขนานกับ B

ข. และ  B ตั้งฉากกับ  C

 

ค. ตั้งฉากกับ 

ง. ตั้งฉากกับ  C

 

จ. สรุปแน่นอนไม่ได้
 

 

 

 

 

10. เมื่อเช้าอากาศร้อนทำให้อึดอัด พอบ่ายอากาศเย็น ฉะนั้น

 

ก. ทำให้สบาย

ข. อากาศตอนบ่ายดีกว่าตอนเช้า

 

ค. พอตอนเย็นฝนตก

ง. ถ้าตอนเช้าอากาศร้อน ตอนบ่ายจะเย็น

 

จ. สรุปแน่นอนไม่ได้
 

 

11. งูจงอางมีพิษมากกว่างูเห่า  งูดินมีพิษมากกว่างูเห่า  ฉะนั้น

 

ก. งูจงอางมีพิษมากกว่างูดิน

ข. งูจงอางมีพิษมากกว่างูเห่าและงูดิน

 

ค. งูจงอางและงูดินมีพิษมากกว่างูเห่า

ง. งูดินมีพิษมากกว่างูจงอาง

 

จ. สรุปแน่นอนไม่ได้

 

                                     วิเคราะห์แบบทดสอบแบบสรุปความ    

1. วิเคราะห์ :-  ข้อ ก.ถูก

 

 

2. วิเคราะห์ :-  ข้อ ง.ถูก

 

สรุปได้ว่าบัณฑิตสูงกว่าประพล ตามหลักสรุปความ  ข้อ 1.1
 

3. วิเคราะห์ :-  ข้อ จ.ถูก

 

โจทย์กำหนดแต่ว่าถ้าไม่นับถือศาสนาใด ๆ เลยเป็นคอมมิวนิสต์ แต่มิได้ระบุเงื่อนไขเกี่ยวกับคนที่นับถือศาสนา เพราะฉะนั้นฉันนับถือศาสนาพุทธ ก็ไม่อยู่ในเงื่อนไขที่สรุปให้เป็นอย่างไรได้ จึงสรุปไม้ได้
 

4. วิเคราะห์ :-  ข้อ ข.ถูก

 

สรุปได้ว่า  คนไทยบางคนใจบุญ ตามหลักสรุปความข้อ 2.13 Aที่กล่าวมาแล้ว
 

5. วิเคราะห์ :-  ข้อ ข.ถูก

 

สรุปได้ว่า  ช้างไม่ได้เลี้ยงลูกด้วยนม เพราะสมมุติฐานแรกบังคับไว้ว่า สัตว์ที่เลี้ยงลูกด้วยนมต้องเป็นสัตว์เลือดอุ่นเท่านั้น ในที่นี้ช้างไม่ใช่สัตว์เลือดอุ่น
 

6. วิเคราะห์ :-  ข้อ ก.ถูก

 

สรุปได้ว่า  รัฐบาลขึ้นภาษี  ตามหลักการสรุปข้อ 3.7 ที่กล่าวมาแล้ว
 

7. วิเคราะห์ :-  ข้อ ง.ถูก

 

สรุปได้ว่า  คือ  เลข  7
 

8. วิเคราะห์ :-  ข้อ ก.ถูก

 

สรุปได้ว่า  ฉันรักพ่อมากกว่าน้องรักพ่อ ดูหลักสรุปตามข้อ 1.3 ที่กล่าวมาแล้ว
 

9. วิเคราะห์ :-  ข้อ ก.ถูก

 

สรุปได้ว่า  ขนานกับ 
 

10. วิเคราะห์ :-  ข้อ จ.ถูก

 

ข้อนี้  สรุปไม่ได้  เพราะสมมุติฐานแรกกับสมมุติฐานที่ 2 ไม่ได้มีเงื่อนไขต่อเนื่องสอดคล้องอย่างหนึ่งอย่างใดต่อกันเลย
 

11. วิเคราะห์ :-  ข้อ ค.ถูก

 

สรุปได้ว่า  งูจงอางและงูดินมีพิษมากกว่างูเห่า  เพราะเป็นการสรุปของทั้งสองสมมุติฐาน

 



ดาวน์โหลดไฟล์    
Comments